曲面的拓扑分类 (4-1)

本文内容来自《 什么是数学 : 对思想和方法的基本研究》，作者：R•柯朗 / H•罗宾 / I·斯图尔特，翻译： 左平 / 张饴慈 / 复旦大学出版社 /，本文略去一些数学推理，只是保留了图片，旨在强调形式而非逻辑。

在19世纪中叶，几何学开始了一个新的发展，它很快地变成了现代数学中的一股巨大力量。这门新的学科称为位置解析或拓扑学。它所研究的是几何图形的这样一些性质，这些性质在图形经受剧烈的变形，以致所有度量性质和射影性质都失去之后，仍然存在着。

莫比乌斯(A.F.Moebius,1790~1868)是那个时代伟大的几何学家之一，然而，缺乏主见却使他一生只能在德国的第二流的天文台里当一个不知名的天文学家。他在68岁时向巴黎科学院提交了一篇关于“单侧”曲面的论文，其中包括了这种新型几何学的一些最惊人的事实。这篇文章在公之于世之前它就像以前其他一些重要贡献一样，在科学院的文件堆里被埋没了许多年。哥廷根的天文学家李斯庭（J.B.Listing,1808~1882)独立于莫比乌斯作出了类似的发现，而且他接受高斯的建议在1847年出版了一本小书《拓扑学的初步研究》（Vorstudien2 ur Topologie),当黎曼(1826~1866)作为一个学生来到哥廷根时，他发现这个大学城对这种新奇的几何思想具有强烈的兴趣。他立刻认识到，这是理解复变量解析函数最深刻的性质的关键。黎曼的函数理论极大地促进了拓扑学后来的发展，而且，在黎曼的理论中，拓扑的概念则是最基本的东西。

最初，这个新领域中的方法之所以新奇就在于，它使数学家无法把他们的结果表示为初等几何的传统公理形式。于是，像庞加莱那样的先驱者不得不依赖于几何直观。甚至今天拓扑学的研究者也会发现，过多地坚持严格的形式表述，容易使他在大量的形式细节中看不到几何内容的本质。尽管如此，把拓扑学纳入严格的数学模式仍然是最近工作的一大功绩，在那里，直观仍然是真理的源泉，而不是检验真理的最终标准，在这个过程中由于布劳威尔(L.E.J.Brouwer)的开创，拓扑学对几乎整个数学的重要性一直在不断地增长着。美国数学家，尤其是维布林（O.Veblen)、亚历山大(J.W.Alexander)、莱夫切茨(S.Lefschetz)对这门学科作出了重要的贡献。

虽然，拓扑学肯定是近百年来的创造，但是早期已有了一些个别的发现，后来在近代的数学系统发展中找到了它们的位置。其中最重要的一个是关于简单多面体的顶点数、棱数和面数之间的关系的公式。这个关系式，笛卡儿早在1640年就已经注意到，1752年欧拉又重新发现并加以应用，这个关系式是一个典型的拓扑性质的定理，只是后来当庞加莱认识到“欧拉公式”和它的推广是拓扑学的中心定理之一后，才弄清了这一点由于历史的及其本身的原因，我们将以欧拉公式作为讨论拓扑学的开端在我们刚刚踏入这个不熟悉的领域时，完全严格的概念既不是必要的，也不是我们所希望的，因此，我们将毫不犹豫地一次又一次求助于读者的几何直观。

§1 多面体的欧拉公式（略）

图120 简单多面体

V -E +F=9-18+11= 2

图121 非简单多面体

V -E +F=16-32+16=0

图形的拓扑性质（例如欧拉定理给出的性质和本节要讨论的其他性质），在许多数学研究中十分吸引人并且很重要，就某种意义上说，它们是所有几何性质中最深刻和最根本的，因为它们是图形在最剧烈的变化之下，仍然不变的性质。

2.连通性

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