Riemann-Roch定理 (6-3)

给定黎曼曲面X 的一个Weil除子 D ，局部上 D 可以看成一个亚纯函数对应的主除子：也就是说，存在 X 的一个开覆盖 {Uᵢ} ᵢ∈ₗ 以及每个 Uᵢ 上的亚纯函数 fᵢ 使得 D|ᴜᵢ＝div(f) . 一般来说，在 Uᵢ∩Uⱼ 中， fᵢ 和 fⱼ 的限制不一定相等，但易见在 Uᵢ∩Uⱼ 上，总存在一个处处非零的全纯函数 h 使得 fᵢh＝fⱼ . 另外， fᵢ 的选取也是唯一的，因为我们总可以用一个处处非零的全程函数取修正它. 反过来，任意一族这样的数据 {(Uᵢ，fᵢ)}ᵢ∈ₗ 都给出了 X 的一个除子. 这就是Cartier对于除子的观点. 由此引出如下定义：

定义：设 X 是一个概形. 我们记 Div(X)：＝Γ(Ⅹ，K*x/𝓞 *x) ，这是一个阿贝尔群，并将它的元素称为Cartier除子. 我们把典范态射

Γ(X，K*x) → Γ(X，K*x/𝓞 *x)， f ↦ div f

的像中元素称为主Cartier除子（principal Cartier divisor）. 两个Cartier除子称为线性等价的，若它们之差是一个主除子. 我们记 CaCl(X) 为除子模掉线性等价得到的商群. 故有正合列

1 → 𝓞 *x(X) → K*x(X) → Div(X) → CaCl(X) → 0.

一个Cartier除子称为是有效除子，如果它是典范态射 Γ(X，𝓞 x∩K*x) → Γ(X，K*x/𝓞 *x) 的像，记为 D ≥ 0 .

由定义，我们可以把Cartier除子D 表示为一族 {(Uᵢ，fᵢ)}ᵢ∈ₗ ，其中 {Uᵢ}ᵢ∈ₗ 是 Ⅹ 的一个开覆盖， fᵢ ∈ K*x(X) 满足 fᵢ|ᴜᵢ∩ᴜⱼ ∈ fⱼ|ᴜᵢ∩ᴜⱼ 𝓞 x(Uᵢ∩Uⱼ)*，对所有的 i，j . 两个族 {(Uᵢ，fᵢ)}ᵢ∈ₗ 和 {(Vⱼ，gⱼ)}ⱼ∈ᴊ 表示同一个Cartier除子，如果对所有的 i，j fᵢ|ᴜᵢ∩ᴜⱼgⱼ|⁻¹ᴜᵢ∩ᴜⱼ ∈ 𝓞 x(Uᵢ∩Uⱼ)*

1. 分别以族 {(Uᵢ，fᵢ)}ᵢ∈ₗ 和 {(Vⱼ，gⱼ)}ⱼ∈ᴊ 表示Cartier除子 D₁ ，D₂，则 {(Uᵢ∩Vⱼ，fᵢgⱼ)}ᵢ，ⱼ 表示 D₁＋D₂ .

2. D ≥ 0 ⇔ 它可表示为 {(Uᵢ，fᵢ)}ᵢ∈ₗ ，其中 fᵢ ∈ 𝓞 x(Uᵢ) .

3. D 是主除子 ⇔ 它可表示为 {(X，f)} .

设D＝{(Uᵢ，fᵢ)}ᵢ∈ₗ 是一个Cartier除子，可定义 Kx 的子层 𝓞 x(D) ：

Γ(U，𝓞 x(D))＝{f ∈ K*x(U)│f fᵢ ∈ Γ(Uᵢ∩U，𝓞 x) i}

可以证明这个定义不依赖代表元{(Uᵢ，fᵢ)}ᵢ∈ₗ 的选取以及 𝓞 x(D) 是一个可逆层. 于是我们得到映射 Div(X) → Pic(X)， D↦𝓞 x(D)

当X 是诺特整概形时，可以证明上述映射诱导阿贝尔群的同构

CaCl(X) ≃ Pic(X) .

定义：设 X 是光滑的射影 k 簇，则 X 的典范除子 K 是指 K ∈ Div(X) 满足 𝓞 x(K) ≃ ωx＝det(Ωx/ₖ) .

现在我们考虑Weil除子和Cartier除子的关系.

设A 是一维诺特局部环. 对 A 的每个正则元 α ， lengthᴀ(A/αA) 是一个有限整数，它可延拓为群同态

Frac(A)* → ℤ， 。α ↦ lengthᴀ(A/αA)

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