Riemann-Roch定理 (6-2)

p ， ℤ₍ₚ₎＝{─│p ∤ m，n，m ∈ ℤ}

m

是一个离散赋值环，它的分式域是X 的有理函数域 ℚ ，每个非零 α ∈ ℚ 可唯一写成 pᵏy 的形式，其中 k ∈ ℤ 和 y 的分子分母均与 p 互素. 赋值定义为 υₚ(α)＝k . 于是有理函数域 ℚ每个非零元素 α ，定义了一个主除子

(α)＝∑ υₚ(α) · (p)

p

回顾交换代数的事实：

设A 是一个诺特整环，则 A 是UFD当且仅当它的所有余维数为 1 的素理想都是主理想.

这表明X＝Spec A 每个Weil除子都是主除子. 换句话说，

A 是UFD ⇔ Cl(X)＝0.

在这种情形下，

Cl(X)＝CaCl(X)＝Pic(X)＝0

特别地，对每个域k 我们有

Cl(𝔸ⁿₖ)＝CaCl(𝔸ⁿₖ)＝Pic(𝔸ⁿₖ)＝0

例2（Dedekind概形的除子）： Spec ℤ 的一个除子是有限个素数的整系数形式和，则 Div(Spec ℤ) 恰好是 ℚ 的理想群 Jℚ ，也就是所有分式理想（ ℚ 的有限生成 ℤ-子模）组成的阿贝尔群：单位元是 ℤ ，分式理想 l 的逆是 l⁻¹＝{x ∈ ℚ│xl ⊂ ℤ} . “有理函数域”是 ℚ* . 一个主除子恰好是分式理想 αℤ . 理想类群 ℤ 就是代数数论中 ℚ 的理想类群 Clℚ . 故我们有正合列

1 → ℤ* → ℚ* → Jℚ → Clℚ → 1

更一般地，设K 是一个数域， 𝓞 ᴋ 是其整数环. 考虑 X＝Spec 𝓞 ᴋ. X 的每个Weil除子

D＝∑ nᵢ [xᵢ]

ᵢ

对应分式理想 ∏pᵢⁿⁱ ，

ᵢ

其中 pᵢ 是对应 xᵢ 的 𝓞 ᴋ 的极大理想.

例3（代数曲线的除子）：设 k 是代数完备域. 域 k 上的代数曲线 X 是一个over k 的有限型、整、可分的一维概形.；如果还有 X proper over k ，则称 X 是complete；如果 X 所有局部环都是局部正则环，则称 X 是非奇异的（nonsingular）.

代数曲线X 上一个除子就是有限个闭点的整系数形式和.

例4（黎曼曲面上的除子）：一个黎曼曲面是一个 1 维复流形，故它的余维数为 1 的子流形的维数是 0 . 一个紧黎曼曲面 X 的除子群 Div(X) 就是 Ⅹ 上的点生成的自由阿贝尔群. 给定 X 上任意非零亚纯函数 f ，记 ordₚ(f) 为 f 在点 p 处的阶数，它定义为：若 p 是零点，则它就是零点的阶数；若 p 是极点，则它就是一个极点的阶数加一个负号；其他情形定义为 0 . 于是每个非零亚纯函数 f 定义了一个主除子：

(f)：＝∑ ordₚ(f)p

p∈X

这是一个有限和，因为X 是紧的.

亏格为1的黎曼曲面——torus

例5（射影空间的除子）：设X＝ℙⁿₖ 是域 k 上的射影空间.则每个素除子具有形式

V₊(f).其中f是不可约的齐次多项式.故每个除子具有形式Z＝∑ nᵢ[V₊(fi)].

ᵢ

考虑群同态

δ：Z¹(X) → ℤ， ∑ nᵢ[V₊(fᵢ)]↦∑ nᵢdeg fᵢ i，

ᵢ ᵢ

可以证明它诱导了群同构Cl(X) ≃ ℤ.

Cartier除子

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