Riemann-Roch定理 (6-4)

其中 Frac(A) 表示环 A 对全体正则元作局部化. 因为这个同态的核包含 A 的可逆元，所以我们得到群同态

multᴀ：Frac(A)*/A* → ℤ .

设X 是局部诺特概形， x ∈ X 是余维数为 1 的点. 对每个Cartier除子 D ∈ Div(X) ， D 在 x 处的stalk Dₓ 属于 (K*x/𝓞 * x)ₓ＝Frac(𝓞 x，ₓ)*/𝓞 *x，ₓ 令

multₓ(D)：＝mult𝓞 x，ₓ(Dₓ)

─

[D]：＝ ∑ multₓ(D)[{x}] ∈ Z¹(X)

这就给出了群同态：

Div(X) → Z¹(X)， D↦[D]

可以证明当X 是诺特、normal、整概形，我们有同构

Div(X) ≃ Z¹(X)， CaCl(X) ≃ Cl(X).

紧黎曼曲面的Riemann-Roch定理

设X 是亏格为 g 的紧黎曼曲面. 其上的除子 D 的次数 deg(D) 是指它的系数和. 可以证明一个主除子的次数总为 0 ，所以一个除子的次数仅仅依赖它所在的线性等价类. 我们主要关心的量是整体截面

Γ(X，𝓞 x(D))＝{f ∈ K*x(X)│div(f)＋D ≥ 0}∪{0}.

作为ℂ-线性空间的维数 ℓ(D) . 则Riemann-Roch定理是说：存在典范除子 K 使得

ℓ(D) – ℓ(K – D)＝deg(D) – g＋1

维数– 修正项 ＝ 次数 – 亏格 ＋ 1

让我们来看看亏格g＝0 的情形.

∞

-1 1 ·-1 1

0

Riemann sphere

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（同人小说网http://tongren.me），接着再看更方便。