Riemann-Roch定理 (6-1)

Weil除子

定义：设 X 是一个诺特整概形， X 上的素除子（prime divisor）是指 X 的一个余维数为 1 的不可约闭子集， X 上的一个Weil除子 是指由素除子生成的自由阿贝尔群 Z¹(X) 中的一个元素： Z＝∑ nzZ ，

Z

这里 {Z：nz ≠ 0} 是有限集合. 一个Weil除子 D 称为是有效的（effective），如果所有系数都是非负的. 记 D ≥ D' ，如果 D – D' 是有效除子.

设Z 是 X 的一个素除子，则局部环 𝓞 x，ᴢ 的Krull维数为1 . 若 f ∈ 𝓞 x，ᴢ是一个非零元，则the order of vanishing of f along Z，written ᴢ(f) ，定义为 𝓞 x，ᴢ/(f) 的长度. 这个长度是有限的，且满足 ordᴢ(fg)＝ordᴢ(f)＋ordᴢ(g) . 再设 f 是有理函数域 K(X) 的一个非零元，则 f 可写成

g

f＝─，g，h ∈ 𝓞 x，ᴢ的形式.

h

于是the order of vanishing of f 定义为 ordᴢ(f)：＝ordᴢ(g) – ordᴢ(h).这样，我们得到一个函数：

ordᴢ：K(X)* → ℤ

如果X 是normal scheme，则局部环 𝓞 x，ᴢ 是一个离散赋值环，上述函数 ordᴢ 是对应的赋值. 对 f∈K(X)* ，定义主除子（the principal Weil divisor associated to f ）为：

div f＝∑ordᴢ(f)Z.

Z

可以验证这个和是有限和. 它满足

div fg＝div f＋div g.

这表明我们有同态：

din：K*x(X) → Z¹(X)， f ↦ dib f

故这个同态的像是Div(X) 的子群. Weil除子类群（Weil divisor class group） Cl(X) 定义为 Div(X) 模掉这个主除子生成的子群. 称两个除子是线性等价的（linearly equivalent），如果它们之差是一个主除子. 故Weil除子类群就是除子群 Div(X) 模掉线性等价. 故有正合列

1 → 𝓞 *x(X) → K*x(X) → Z¹(X) → Cl(X) → 0.

设X 是一个normal诺特整概形. 则每个Weil除子决定了一个凝聚层 𝓞 x(D) ：它是有理函数域层 Kx 的子层

Γ(U，𝓞 x(D))＝{f ∈ K*x(U)│div(f)＋D ≥ 0}∪{0}.

可以证明，两个Weil除子D，E 是线性等价的当且仅当 𝓞 (D) ≃ 𝓞 (E)作为 𝓞 x -模层.

例1（仿射概形的除子）：：设 A 是一个诺特Normal整环，考虑仿射概形 X＝Spec A . 则 X 的一个Weil除子是一些环 A 的余维数为 1 的素理想的形式有限和. 现设 p 是 X 的一个素除子，即 p 是环 A 的余维数为 1 的素理想，于是 Aₚ 是一个离散赋值环，其分式域是 X 的有理函数域 K(A) . 于是存在赋值 υₚ：K(A) → ℤ∪{∞}. 有理函数域 K(A) 的每个非零元素 α ，定义了一个主除子

(α)＝∑υₚ(α) · p

其中p 取遍 A 的所有余维数为 1 的素理想.

例如取A＝ℤ ，则它的所有素理想 (p) 都是余维数为 1 的素理想. 取一固定的素数

n

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