数学联邦政治世界观
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信念逻辑 (2-1)

我们介绍信念逻辑(Doxastic Logic)。

在认知逻辑中,我们介绍了Kᵢφ,意思是i知道φ是真的。在这里,我们引入Bαφ,意为α相信φ是真的。在通常情况下,Bα满足D公理,即一个人不能相信两个相反的命题,但也可以对这两个命题都不相信。但要明确的是,一旦一个人相信了一个命题,他就不能相信这一问题的反命题,这是一个人信念的一致性:

Bαφ → ¬Bα ¬φ Balief Consistency

事实上,如果一个人知道一个命题,那他一定相信这个命题,也就是说:

Kαφ → Bαφ

有些人也认为这条强内省(strong introspection)公理成立:

Bαφ → KαBαφ

那我们如何用模态世界的观念建构。

”我们可以想象有很多很多世界,包括我们现在所处的世界。一个世界,可以理解为一堆在这个世界中成立的命题的集合。那么我们不知道我们处在哪个世界(没人知道),但我们会无法分辨我们处在哪个世界。凡是任何两个无法被一个人i分辨的世界都会连上一条线,并在这条线上写上i,就表示∼i,那么如果一个处在世界s,那么考虑任意一个无法与这个世界s分辨的世界t(注意,是被i分辨),如果在这些t,都有φ成立,那么就有Kᵢφ。”

“换句话说,我认识中的世界,是许多许多可能的世界的其中之一,如果所有这些可能的世界中都有φ成立,那么在所有这种可能的世界中,都有Kᵢφ。“

那么对于一个人认识中若干个可能的世界,我们可以在这些可能的世界之间建立偏序关系,相当于将一个世界理解为一个数,给世界建立大小关系,更小的世界表示更为可能的世界(more plausible)。用数学语言来表述,就是x≤ᵢ,ₛ y,其中x,y是两个世界,这些符号表示,在i(是一个人)的认识中可能的世界中,i认为世界x比世界y更有可能。

也就是说,所谓相信,在模态逻辑上就是说,在一个人认识中所有的可能的世界中,某个世界最为可能。下面这张图作为一个例子,可以帮助我们直观地理解认知逻辑和信念逻辑:

1 2

◦ → • → ◦

1 2

x:p,¬q y:p,q z:¬p,q

Benthem.J.F.A.K.van:modal logic for open minds

USA: CSLI Publications 2010, 150

在这张图中,标注有数字1的箭头指向1认为更有可能的世界,注意,有且只有1认为可能的世界间被连箭头。标注有数字1的虚线,表示1无法分辨虚线所连接的两个世界,注意,同样地,有且只有1认为可能的世界间被连虚线。这张图表示:K₁ₚ,K₂q,B₁q,B₂¬p。同时,这张图有这层含义:2相信1知道q,但是1不知道q。

同样,引入可以引入条件信念(Conditional Beliefs),Bψφ,表示在ψ条件下,一个人相信φ。用上面这套架构来描述,就是说,在一个人认识中所有的可能的ψ成立的世界中,某个世界最为可能,即为Bψφ。所以绝对的信念可以表述为B⊤φ。

参考文献

• [1]Garson J.W.: Modal Logic for Philosophers, Second edition, USA: 2013

• [2]G.E.Hughes, M.J.Cresswell: A New Introduction to Modal Logic, London: T.J. International Ltd. 1996

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