数学联邦政治世界观
超小超大

Riemann-Roch定理 (6-1)

Weil除子

定义:设 X 是一个诺特整概形, X 上的素除子(prime divisor)是指 X 的一个余维数为 1 的不可约闭子集, X 上的一个Weil除子 是指由素除子生成的自由阿贝尔群 Z¹(X) 中的一个元素: Z=∑ nzZ ,

Z

这里 {Z:nz ≠ 0} 是有限集合. 一个Weil除子 D 称为是有效的(effective),如果所有系数都是非负的. 记 D ≥ D' ,如果 D – D' 是有效除子.

设Z 是 X 的一个素除子,则局部环 𝓞 x,ᴢ 的Krull维数为1 . 若 f ∈ 𝓞 x,ᴢ是一个非零元,则the order of vanishing of f along Z,written ᴢ(f) ,定义为 𝓞 x,ᴢ/(f) 的长度. 这个长度是有限的,且满足 ordᴢ(fg)=ordᴢ(f)+ordᴢ(g) . 再设 f 是有理函数域 K(X) 的一个非零元,则 f 可写成

g

f=─,g,h ∈ 𝓞 x,ᴢ的形式.

h

于是the order of vanishing of f 定义为 ordᴢ(f):=ordᴢ(g) – ordᴢ(h).这样,我们得到一个函数:

ordᴢ:K(X)* → ℤ

如果X 是normal scheme,则局部环 𝓞 x,ᴢ 是一个离散赋值环,上述函数 ordᴢ 是对应的赋值. 对 f∈K(X)* ,定义主除子(the principal Weil divisor associated to f )为:

div f=∑ordᴢ(f)Z.

Z

可以验证这个和是有限和. 它满足

div fg=div f+div g.

这表明我们有同态:

din:K*x(X) → Z¹(X), f ↦ dib f

故这个同态的像是Div(X) 的子群. Weil除子类群(Weil divisor class group) Cl(X) 定义为 Div(X) 模掉这个主除子生成的子群. 称两个除子是线性等价的(linearly equivalent),如果它们之差是一个主除子. 故Weil除子类群就是除子群 Div(X) 模掉线性等价. 故有正合列

1 → 𝓞 *x(X) → K*x(X) → Z¹(X) → Cl(X) → 0.

设X 是一个normal诺特整概形. 则每个Weil除子决定了一个凝聚层 𝓞 x(D) :它是有理函数域层 Kx 的子层

Γ(U,𝓞 x(D))={f ∈ K*x(U)│div(f)+D ≥ 0}∪{0}.

可以证明,两个Weil除子D,E 是线性等价的当且仅当 𝓞 (D) ≃ 𝓞 (E)作为 𝓞 x -模层.

例1(仿射概形的除子)::设 A 是一个诺特Normal整环,考虑仿射概形 X=Spec A . 则 X 的一个Weil除子是一些环 A 的余维数为 1 的素理想的形式有限和. 现设 p 是 X 的一个素除子,即 p 是环 A 的余维数为 1 的素理想,于是 Aₚ 是一个离散赋值环,其分式域是 X 的有理函数域 K(A) . 于是存在赋值 υₚ:K(A) → ℤ∪{∞}. 有理函数域 K(A) 的每个非零元素 α ,定义了一个主除子

(α)=∑υₚ(α) · p

其中p 取遍 A 的所有余维数为 1 的素理想.

例如取A=ℤ ,则它的所有素理想 (p) 都是余维数为 1 的素理想. 取一固定的素数

n

数学联邦政治世界观提示您:看后求收藏(同人小说网http://tongren.me),接着再看更方便。

相关小说

良仙难求(续写) 连载中
良仙难求(续写)
北宫雪舞
魂断天启台,繁华落无泪。彼岸花为君开,彼岸叶为君落。彼岸红颜娇艳为谁红?千年缘万世情,黄泉路仍漫漫。三生石畔等你恋你!……………………………......
1.9万字8个月前
在地府搬砖后我养起了娃 连载中
在地府搬砖后我养起了娃
鸦执
工作辛苦,养娃不易。鸡飞狗跳十年后,小团子穆涂意外坠入轮回道,去了人界渡劫。结果几个月没见,怀里要吃糖的人长成了十六岁刺头,初见就回敬她一口......
22.6万字8个月前
最美少年魂 连载中
最美少年魂
竹仙陶醉
简介:天海,人如其名,他的心胸就像那浩渺的天空,以自己的力量将杀害他们母子的父亲冰霸从魔尊的掌控之中解救出来,以化为竹骨的代价将父亲体内的霸......
55.8万字8个月前
玄灵至尊:赖上冷千金 连载中
玄灵至尊:赖上冷千金
绮里冉冉
  生于玄幻世界的“书香世家”。天生无攻击力的天赋技能,在以实力为尊的世界,相当于“废物技能”开局?!  ……  本故事纯属虚构,外加胡编乱......
15.0万字8个月前
半面妆贰(还有番外) 连载中
半面妆贰(还有番外)
菇菇和白鸟
诶嘿嘿,我才不会告诉你们我是来搬文的这本书真的超好看然后我就准备搬出来给你们看看。哦,对了,差点忘说了,原著作者是萧十一狼简介不放了,就是一......
0.1万字8个月前
快穿之炮灰成长记 连载中
快穿之炮灰成长记
浮桦忘川
封面美美哒,谢谢加加姐姐~(前期写的渣,若实在辣眼睛可以看后期剧情……)叶荷本是x大的三大校花之一,却在一次外出买狗粮时被卡车撞死……然后,......
12.2万字8个月前