数学联邦政治世界观
超小超大

Riemann-Roch定理 (6-1)

Weil除子

定义:设 X 是一个诺特整概形, X 上的素除子(prime divisor)是指 X 的一个余维数为 1 的不可约闭子集, X 上的一个Weil除子 是指由素除子生成的自由阿贝尔群 Z¹(X) 中的一个元素: Z=∑ nzZ ,

Z

这里 {Z:nz ≠ 0} 是有限集合. 一个Weil除子 D 称为是有效的(effective),如果所有系数都是非负的. 记 D ≥ D' ,如果 D – D' 是有效除子.

设Z 是 X 的一个素除子,则局部环 𝓞 x,ᴢ 的Krull维数为1 . 若 f ∈ 𝓞 x,ᴢ是一个非零元,则the order of vanishing of f along Z,written ᴢ(f) ,定义为 𝓞 x,ᴢ/(f) 的长度. 这个长度是有限的,且满足 ordᴢ(fg)=ordᴢ(f)+ordᴢ(g) . 再设 f 是有理函数域 K(X) 的一个非零元,则 f 可写成

g

f=─,g,h ∈ 𝓞 x,ᴢ的形式.

h

于是the order of vanishing of f 定义为 ordᴢ(f):=ordᴢ(g) – ordᴢ(h).这样,我们得到一个函数:

ordᴢ:K(X)* → ℤ

如果X 是normal scheme,则局部环 𝓞 x,ᴢ 是一个离散赋值环,上述函数 ordᴢ 是对应的赋值. 对 f∈K(X)* ,定义主除子(the principal Weil divisor associated to f )为:

div f=∑ordᴢ(f)Z.

Z

可以验证这个和是有限和. 它满足

div fg=div f+div g.

这表明我们有同态:

din:K*x(X) → Z¹(X), f ↦ dib f

故这个同态的像是Div(X) 的子群. Weil除子类群(Weil divisor class group) Cl(X) 定义为 Div(X) 模掉这个主除子生成的子群. 称两个除子是线性等价的(linearly equivalent),如果它们之差是一个主除子. 故Weil除子类群就是除子群 Div(X) 模掉线性等价. 故有正合列

1 → 𝓞 *x(X) → K*x(X) → Z¹(X) → Cl(X) → 0.

设X 是一个normal诺特整概形. 则每个Weil除子决定了一个凝聚层 𝓞 x(D) :它是有理函数域层 Kx 的子层

Γ(U,𝓞 x(D))={f ∈ K*x(U)│div(f)+D ≥ 0}∪{0}.

可以证明,两个Weil除子D,E 是线性等价的当且仅当 𝓞 (D) ≃ 𝓞 (E)作为 𝓞 x -模层.

例1(仿射概形的除子)::设 A 是一个诺特Normal整环,考虑仿射概形 X=Spec A . 则 X 的一个Weil除子是一些环 A 的余维数为 1 的素理想的形式有限和. 现设 p 是 X 的一个素除子,即 p 是环 A 的余维数为 1 的素理想,于是 Aₚ 是一个离散赋值环,其分式域是 X 的有理函数域 K(A) . 于是存在赋值 υₚ:K(A) → ℤ∪{∞}. 有理函数域 K(A) 的每个非零元素 α ,定义了一个主除子

(α)=∑υₚ(α) · p

其中p 取遍 A 的所有余维数为 1 的素理想.

例如取A=ℤ ,则它的所有素理想 (p) 都是余维数为 1 的素理想. 取一固定的素数

n

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