广义罗尔定理 (2-2)

因为sec² t₀ ≠ 0，所以f'(tan t₀)＝0，故取ξ＝tan t₀ 即可.

(3)若α有限，b＝＋∞，令G(t)＝f(tan t)，t ∈

π

(arctan α，─)即可.

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(4)若α＝–∞，b有限，类似(3)的讨论，存在ξ ∈ (–∞，0) 使得 f'(ξ)＝0. ◾

注 此结果可看成 Rolle 定理的推广.

特例(北京师范大学) 设 f(x) 在(0，＋∞) 中任意点有有限导数，且

lim f(x)＝lim f(x)＝A.

x→∞⁺ x→＋∞

证明：存在ξ ∈ (0，＋∞)使得f'(ξ)＝0.

以上的两个问题是常见的罗尔定理的证明题，其中第一个主要是构造函数，通常结合自然常数e的ax次方，进行乘除运算，以便导函数的结果可以靠近题目。第二题是罗尔定理的一种推广形式。考虑到函数极限，从而补充函数定义。

例1.设函数f(x)二阶可导，f(0)＜0，f(1)＝0，方程f(x)＝0在(0，1)有实根x₀，当 x ∈ (x₀，l)，有f''(x)＞0，证明：存在 ξ ∈(0，1)，使得f''(ξ)＝0.

例 2.设函数f(x)在[0，＋∞)连续，(0，＋∞)可导，且f(0)＝0，lim f(x)＝0，

x→∞

证明：存在ξ ∈(0，＋∞)，使得f'(ξ)＝0。

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