Hodge理论 (2-2)

• 这里插播一个关于Hodge conjecture的一个通俗易懂的解释，一句话概括Give a random shape, when it is homeomorphism to a shape described by polynomials? 换言之，就是把jagged edges变成smooth edges，附视频截图的解释

ALGEBRAIC

GEOMETRY ToPOLOGy

R² υ² P R R

P₂R

Tᵗ · Sᵗ × Sᵗ

y b β y x y x

SMOOTH

y

x

SHOOTH

jegepd

edge

SMOOTH

jogge

edge

StogcotTH

jegged

edge

Hodge Conjechve：

─────────

Given α rαndom shape，

ωhen is if homeomorphic

to α shαpe described by

polynomiαls?

• 关于moduli space的一些应用，complex Hodge theory重要的两个例子是abelian varieties和K3 surface，研究它们的moduli space的时候一个关键的条件是polarization on Hodge structure (保证了存在性)

• 最后说下p-adic Hodge theory里面的一个fundamental curve是Fargues-Fontaine curve，可以理解为twisted of P^1，性质是regular Noetherian scheme of Krull dimension 1.

应用主要思想是给出了geometric perspective on arithmetic objects. 有一些研究比如classification of vector bundles on Fargues-Fontaine curve，研究family of Fargues-Fontaine curves后续为了Langlands program里的一个Fargues猜想对于Fontaine-Fargues curve是否成立，如果成立，那么local Langlands conjecture可以理解为geometric Langlands conjecture on the Fargues-Fontaine curve

关于Fargues-Fontaine curve的进一步的参考的资料可以先看下这个outline

里面有一些不错的notes推荐，比如Morrow的Bourbaki seminar: Fargues-Fontaine curve and diamonds‬

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