直觉主义逻辑 (3-1)

能不能有一个命题，在某种逻辑框架下，既不是真的，又不是假的？也就是说，存不存在一种逻辑，不满足“排中律”？在经典逻辑下，A∨¬A一定为真。有一种直觉主义逻辑(Intuitionist Logic)，在其中A∨⇁A 可能为假。（注意这里¬符号变了⇁，这是两个不同的符号）这是一种什么逻辑呢？

如果我们学了很多数学，我们会想，这些数学公式在说什么？这些数学公式背后有什么语言之外的存在吗？那么有没有这样一种逻辑讨论这种问题呢？

直觉主义逻辑(Intuitionist Logic)概念的引入

直觉主义逻辑(Intuitionist Logic)来自数学哲学的一种观点——直觉主义(Intuitionism)。我们先来考察直觉主义的理论基础。

比方说，我随便说一个句子：“小明喝了一杯水。”你以前可能没听过这个句子，但你能够理解这个句子。甚至对千千万万你没听过的句子，你都能理解。这是如何可能的呢？

我们之所以能理解一个句子，是因为我们能够理解一个句子的每个部分，并且我们可以理解将它们组合起来的方式。正是因为这两者，我们理解了一个句子。一个句子的含义被它每一个部分的含义和它的语法构造所决定。这被称为组合性(Compositionality)。

一种正统的观点，如弗雷格(Frege)，认为一个陈述(statement)的含义由其成立为真的条件决定，或者说，由真值条件(truth conditions)决定。比方说，我说：“克林顿曾经是美国总统。”那么，这句话的含义，就是这句话所成立为真的条件。这句话成立为真的条件是什么？条件即为克林顿曾经是美国总统。即“小明在喝水”这句话的真值条件是小明在喝水。

那么从组合性的观点出发，如果给出一句话每个部分的真值条件，那么就可以知道这句话的真值条件。比方说如果A是假的，那么¬A是真的。如果A和B是真的，那么A∧B是真的。

真理(truth)，在一般的理解下，即为一种关系，一种联系语言和语言外的现实(extra-linguistic reality)的关系。比方说，我说“阿里巴巴举办了数学竞赛”，这是真的，是因为阿里巴巴在北半球确实举办这一场比赛，组织了很多环节。这貌似没任何问题。

但是对于数学，我们也可以谈数学语言外的现实吗？

如果可以，那么2＋3＝5对应的现实是什么？数学实在论者(mathmatical realists)认为存在客观的数学对象，即2，3和5都是实在的。对于数学直觉主义者(mathmetical intuitionist)来说，数学实在论者的想法就像神秘主义一样，不应该被采纳。数学直觉主义者认为，不应该把真理理解为一种联系语言和语言外的现实(extra-linguistic reality)的关系。

那按照数学直觉主义者来说，(sin x)'＝cos x这样的数学语言的含义是什么呢？他们认为，这些数学语言的含义，由不是真值条件(truth condition)，而是由证明条件(proof condition)决定的，这里证明是一种心理构造(mental construction)。这是什么意思呢？也就是说，如果我们说(sin x)'＝cos x为真，表达的意思是它被证明为真，表达的并不是某些外在现实使得它为真。当然，这里的证明可以有各种各样的，可以是数学基于公理的证明，也可以是因明(hetuvidyā)中的立量(pramāṇa)。

那么有这个起点，可以让我们建立一套新的逻辑。首先我们需要重新定义这些符号∧，∨，⇁，⊐

我们来看书上的定义(Graham Priest[4])

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