数学联邦政治世界观
超小超大

直觉主义逻辑 (3-1)

能不能有一个命题,在某种逻辑框架下,既不是真的,又不是假的?也就是说,存不存在一种逻辑,不满足“排中律”?在经典逻辑下,A∨¬A一定为真。有一种直觉主义逻辑(Intuitionist Logic),在其中A∨⇁A 可能为假。(注意这里¬符号变了⇁,这是两个不同的符号)这是一种什么逻辑呢?

如果我们学了很多数学,我们会想,这些数学公式在说什么?这些数学公式背后有什么语言之外的存在吗?那么有没有这样一种逻辑讨论这种问题呢?

直觉主义逻辑(Intuitionist Logic)概念的引入

直觉主义逻辑(Intuitionist Logic)来自数学哲学的一种观点——直觉主义(Intuitionism)。我们先来考察直觉主义的理论基础。

比方说,我随便说一个句子:“小明喝了一杯水。”你以前可能没听过这个句子,但你能够理解这个句子。甚至对千千万万你没听过的句子,你都能理解。这是如何可能的呢?

我们之所以能理解一个句子,是因为我们能够理解一个句子的每个部分,并且我们可以理解将它们组合起来的方式。正是因为这两者,我们理解了一个句子。一个句子的含义被它每一个部分的含义和它的语法构造所决定。这被称为组合性(Compositionality)。

一种正统的观点,如弗雷格(Frege),认为一个陈述(statement)的含义由其成立为真的条件决定,或者说,由真值条件(truth conditions)决定。比方说,我说:“克林顿曾经是美国总统。”那么,这句话的含义,就是这句话所成立为真的条件。这句话成立为真的条件是什么?条件即为克林顿曾经是美国总统。即“小明在喝水”这句话的真值条件是小明在喝水。

那么从组合性的观点出发,如果给出一句话每个部分的真值条件,那么就可以知道这句话的真值条件。比方说如果A是假的,那么¬A是真的。如果A和B是真的,那么A∧B是真的。

真理(truth),在一般的理解下,即为一种关系,一种联系语言和语言外的现实(extra-linguistic reality)的关系。比方说,我说“阿里巴巴举办了数学竞赛”,这是真的,是因为阿里巴巴在北半球确实举办这一场比赛,组织了很多环节。这貌似没任何问题。

但是对于数学,我们也可以谈数学语言外的现实吗?

如果可以,那么2+3=5对应的现实是什么?数学实在论者(mathmatical realists)认为存在客观的数学对象,即2,3和5都是实在的。对于数学直觉主义者(mathmetical intuitionist)来说,数学实在论者的想法就像神秘主义一样,不应该被采纳。数学直觉主义者认为,不应该把真理理解为一种联系语言和语言外的现实(extra-linguistic reality)的关系。

那按照数学直觉主义者来说,(sin x)'=cos x这样的数学语言的含义是什么呢?他们认为,这些数学语言的含义,由不是真值条件(truth condition),而是由证明条件(proof condition)决定的,这里证明是一种心理构造(mental construction)。这是什么意思呢?也就是说,如果我们说(sin x)'=cos x为真,表达的意思是它被证明为真,表达的并不是某些外在现实使得它为真。当然,这里的证明可以有各种各样的,可以是数学基于公理的证明,也可以是因明(hetuvidyā)中的立量(pramāṇa)。

那么有这个起点,可以让我们建立一套新的逻辑。首先我们需要重新定义这些符号∧,∨,⇁,⊐

我们来看书上的定义(Graham Priest[4])

数学联邦政治世界观提示您:看后求收藏(同人小说网http://tongren.me),接着再看更方便。

相关小说

藕逢缘 连载中
藕逢缘
览星空
3.6万字9个月前
弈情 连载中
弈情
Alva🔥
争锋相对,却暗生情愫,“我不能爱上你”“可你的身体告诉我,你不是这么想的”“在枪响前,让我再吻你一次吧”
5.5万字9个月前
冥核决战 连载中
冥核决战
封洛克夜
“一切的冒险都是一个忠告而已..不要调查这个世界真正的真相...对我而言这个世界很残酷但只包括我吧…你们总有一天会抵达真正的终点...而我也......
1.1万字9个月前
凡骨 连载中
凡骨
伊榆契
从我出生的那一刻就注定不平凡,我并不知道自己的父母是谁,听师傅说我是被捡来的,直到我十四岁那年,我找到了我的至亲,但我父母的消息却毫无音讯…......
0.6万字9个月前
恐怖躲猫猫:逝者未言 连载中
恐怖躲猫猫:逝者未言
鹅饼饼子呀
反复的循环,结局和开端相互连接……短暂的相遇,再伴随长期的遗忘和离别……如此,是你要的完美结果吗……邀你入梦,一同欣赏,这来之不易的盛宴请允......
4.2万字9个月前
黑天使vs白恶魔 连载中
黑天使vs白恶魔
文大大
你相信世界有天使吗?反正我没见过,作者很懒自己看!!!
20.6万字9个月前