数学联邦政治世界观
超小超大

Hodge理论 (2-1)

Part 1: Brief introduction to Hodge theory

(1) complex Hodge theory

对于一个complex manifold X,由代数拓扑的观点我们想研究它的homotopy type,比如cohomology group, fundamental group(nonabelian)

而在complex geometry里面有一类重要的就是Kahler manifold(example是可以embedding to a projective space的),Kahler metric 提供了Kahler identity,这在Hodge分解中起到了作用

主要结果如下图,Hodge decomposition是Hodge structure定义的motivation, Hard Lefschetz是某种形式的Poincare duality

Kahler manifolds

X compact Kähler manifold (e.g. X ↪P”)

①Hⁿ(X,Q) carries a Hodge structure

Hⁿ(X,Q) ⨂ C ≃ ⨁ Hᵖ,q,Hᵖ,q=Hᵖ,q=Hq(X,,,Ωᵖₓ) p+q=n

,────

Hᵖ,q=Hq,ᵖ.

②Hard Lefschetz:

– ∪[ω]ᵏ : Hᵈ⁻ᵏ(X,C) ∼→ Hᵈ⁺ᵏ(X,C).

③ nonabelian Hodge theory ⇒ restrictions on π₁(X)(Kähler groups)

入门可以看Voison的Hodge theory and complex algebraic geometry第一卷的前两章

(2) p-adic Hodge theory‬

本质上引入period rings来作为p-adic analogue of complex numbers, 来进行各种cohomology的comparison. 比如de-Rham cohomology, crystalline cohomology, etale cohomology‬

最初的想法来源于对Hodge decomposition的p-adic analogue,Tate在p-divisible groups这篇文章中给出了Hodge-Tate decomposition for p-divisible groups,这里用到的是etale cohomology. 具体的解读可以看这个notes math./ag/alg...

入门可以看Fontaine and ouyang 的Theory of p-adic Galois representations或者Brinon和Connad的notes math./~conr...

Part 2: Applications

• 先说说complex Hodge theory里的核心猜想吧,Hodge conjecture简单概括就是Every Hodge class is algebraic. 这个unknown的东东,我们研究各种各样的版本,比如variations of Hodge structures, integral p-adic Hodge theory(over ring of integers of C_{p},C是那个complex number)

数学联邦政治世界观提示您:看后求收藏(同人小说网http://tongren.me),接着再看更方便。

相关小说

祈望之心 连载中
祈望之心
沙雕的章
主要写出一个女初中生林栀河意外变成非常强大的人,人称女皇,世界上除了顶头上司天帝季晏礼无人能敌,后来才知道这就是因果,非她不可,而作女皇的代......
2.3万字9个月前
做个狐狸,惑乱你心 连载中
做个狐狸,惑乱你心
セ剑雨奈何ゼ
蓝星因为一次意外附身到了弟弟酋蓝的身体上,如果当时没有附身上去自己便会消失,也是因为弟弟拼尽全力自己才能附身上去,不过只有变回蓝星的时候,才......
12.2万字9个月前
小花仙之月光宝石 连载中
小花仙之月光宝石
紫月梦蝶
讲了精灵王们的日常生活,以及上学时的经历,以及吉祥,如意,琥珀,夜华,白鬼和雅辛托斯的身份之谜一一一一☆一一一一上学篇(连接中)回忆篇(未开......
0.9万字9个月前
十二星宫之恋 连载中
十二星宫之恋
苏公子啊
玄幻
3.4万字9个月前
快穿之入迷游戏 连载中
快穿之入迷游戏
迷糊小鬼
为了报复编辑的一次又一次的退稿,却意外的获得穿越游戏系统,拭目以待久哥和谢琛的游戏之旅。    随即他又补充一句:“能给几发子弹吗,我光有枪......
14.2万字9个月前
末日临渊 连载中
末日临渊
筱夜寂雨
消失的人,发疯的狂暴者,应该都和这个突然出现的秘境有关。秘境为何突然诞生?原因,目的,始作俑者一概不清。目前他能做的事儿,就是活着离开这里。
7.3万字9个月前