【沙法列维奇-泰特猜想】（一） (5-1)

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泰特猜想

关于图的着色的一个著名猜想

泰特猜想(Tait's conjecture)是关于图的着色的一个著名猜想，3正则图的3边正常着色称为泰特着色。泰特猜想：每个简单3正则3连通平面图都有泰特着色，它与四色猜想等价，泰特(P.G.Tait)曾根据“每个3正则3连通平面图都是哈密顿图”的错误假设，给出了四色猜想的一个“证明”，塔特(W.T.Tutte)于1946年构造了一个3正则3连通的平面图，在这图上不存在哈密顿图，这个图称为塔特图，由此推翻了泰特于1880年给出的四色猜想的“证明”[1]。

中文名

泰特猜想

外文名

Tait's conjecture

所属学科

数学

所属问题

组合学(图与超图)

简介

关于图的着色的一个著名猜想

基本介绍

对于复阿贝尔簇 A＝Cᵍ/L，它的子群A[n]＝{α ∈ A|nα＝0} 同构于加法群

1

─L/L ≅ (Z/nZ)²ᵍ．

n

如果A是定义在数域K上，将A[n]中所有点的坐标添加到K中，形成K的一个扩域K⁽ⁿ⁾ ，K⁽ⁿ⁾ 是K的代数闭包量Kαᶜ 的子域。伽罗瓦群G＝Gαl (Kαᶜ/K)作用在子群A[n]上，给出G在GL₂g (Z/nZ)上的伽罗瓦表示，现在取素数l ，则有自然满同态 A[lᵐ⁺¹] → A[lᵐ]，α ↦ lα，于是有极限 Tₗ (A)＝lim A[lᵐ]，

m→∞

这叫作阿贝尔簇A的泰特模。由极限过程知，Tₗ (A) 群同构于 lim (Z/lᵐ Z)²ᵍ＝Zₗ²ᵍ，其中Zₗ 是1-adic整数环。群G通过取极限作用在Tₗ (A)上，从而给出G在GL₂g (Zₗ) 中的1-adic表示。进而，若B是定义在K上的另一个阿贝尔簇，则所有从A到B的群同态形成加法群 Hom(A，B)，而与G作用可交换的从Tₗ (A) 到 Tₗ (B)的群同态形成群 Homɢ (Tₗ (A)，Tₗ (B))，泰特猜想是说：

(1)G到 上的1-adic表示 G → GL₂g (Zₗ) 是半单的；

(2)有群同构 Hom (A，B) ⨂ Zₗ ≅ Homɢ (Tₗ(A)，Tₗ(B))．

每个同态φ：A → B自然诱导出泰特模之间的一个同态 Tₗ(φ)：Tₗ (A) → Tₗ (B)，而猜想(2)本质上相当于说： φ 由Tₗ (φ) 所决定，即阿贝尔簇之间的同态由它在泰特模上的作用所决定，并且Tₗ (A)到 Tₗ (B)的每个G-同态都是由某个 φ：A → B 诱导出来的[2] 。

泰特猜想的证明

法尔廷斯首先证明了泰特猜想，然后由泰特猜想再推出关于阿贝尔簇的沙法列维奇猜想，这也就证明了关于曲线的沙法列维奇猜想和莫代尔猜想。

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