【沙法列维奇-泰特猜想】（一） (5-2)

法尔廷斯证明泰特猜想和关于阿贝尔簇的沙法列维奇猜想的方法本质上是费马于三百年前发明的无穷下降法，费马在证明方程x⁴＋y⁴＝z⁴没有正整数解时，他假定(x，y，z)＝(α，b，c)是一组正整数解，由此又导出另一组正整数解 (x，y，z)＝(α'，b'，c')，使得c'＜c，但是正整数不能无穷下降，由此导出矛盾．这个证明本质上利用了正整数的大小概念，并且对每个正实数c，不超过C的正整数只有有限多个．为了证明关于阿贝尔簇的沙法列维奇猜想，即定义在数域K上的g维主极化阿贝尔簇只有有限多个，使得它们在S之外的每个K-位上都有好的约化，法尔廷斯对每个这样的阿贝尔簇A定义一个衡量大小的量h(A)，叫作A的高度。这个高度的定义比较复杂，但是它可以转化成另一个比较容易叙述的高度概念，西格尔把K上的所有g维主极化阿贝尔簇作成一个新的射影代数簇ng，叫作参量空间(moduli space)，也就是说，K上的每个g维主极化阿贝尔簇A是ng中的一个点x，由于ng是射影代数簇，它可嵌到K上的某个射影空间Pⁿ (K)中，我们可以在射影空间中定义一个高度概念，以K=Q为例，n维射影空间Pⁿ (Q) 的每个点可以唯一表示成 x＝(x₀，. . .，xₙ)，其中x₀，. . .，xₙ是不全为零的整数并且没有大于1的公因子，点x的高度定义为 h (x)＝max {log|xᵢ|}， 0≤i≤n

不难看出，对于每个正实数c， Pⁿ (Q) 中满足h(x) ≤ c 的射影点x只有有限多个,对于一般的代数数域K，射影空间Pⁿ (K)中点x的高度h(x)也可以定义，并且有同样的性质：高度有界的点只有有限多个，如果阿贝尔簇A对应于点x，则法尔廷斯证明两个高度h(A)和h(x)本质上是一回事。

现在，K上每个g维主极化阿贝尔簇A对应参量空间ng。的一个点，从而对应射影空间Pⁿ (K)中一个点，而其中在S外的K-位均有好的约化的阿贝尔簇形成ng的一个子集合 ，它也是射影空间Pⁿ (K)中的一个子集合，利用泰特猜想可以证明Pⁿ (K)中子集合 n'g。所有点的高度是有界的(证明中还使用了表示论等一系列结果，甚至还利用了德林-韦伊定理)，所有 n'g 是有限集合，从而只有有限多个阿贝尔簇在S之外的K-位均有好的约化，这就由泰特猜想证明了关于阿贝尔簇的沙法列维奇猜想。

法尔廷斯证明了泰特猜想也是使用了上述的“有界高度原则”，并且在技术细节中也使用了Zarhin等人的其他重要结果[2] 。

参考资料

[1] 数学辞海编辑委员会．数学辞海·第二卷．中国科学技术出版社，2002

[2] 冯克勤．著,代数数论简史=A brief history of algebraic number theory．哈尔滨工业大学出版社，2015.01：第146页

Shafarevich-Tait's conjecture

link./artic...

The Shafarevich-Tate Conjecture for Pencils of Elliptic Curves on K 3 Surfaces

M. Artin* (Cambridge, Mass.) and H. P. F. Swinnerton-Dyer (Cambridge, England)

参考论文情形

【GPT-4o】

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