数学分支全部代数化 (4-1)

Gelfand曾经说过“所有的数学都是某种表示论”（原话： I used to say: "Everything is Representation Theory". Now I say: "Nothing is Representation Theory".这里我断章取义，只考虑前半句话hhh）与其把这句话看成一个结论，不如看成一个目标，就是把尽可能多的数学代数化，放进表示论的框架里。我一直非常喜欢这样的数学，恰好有一个数学分支与这个目标密切相关，那就是非交换几何（很大一部分和算子代数重叠）。鉴于（我，非交换几何）同伦等价于（叶公，龙），我只能谈谈自己非常粗浅的理解，权当抛砖引玉，欢迎评论指正。

非交换几何是一个非常庞大、内容非常丰富的数学分支，但是一个基本的想法就是把几何对象代数化，然后研究它的非交换推广。我觉得这个学科的一个起源是量子力学，或者说是量子化的想法：一个经典力学模型包含一个辛（或者更一般，柏松）流形M 作为相空间，可观测量就是相空间上的光滑函数，组成一个柏松代数 C∞ (M) 。一个量子力学模型包含一个希尔伯特空间 H ，可观测量是 H 上的自伴算子，组成一个 C*-代数 A （这里忽略了一些细节）。我们说 A 是 M 的一个量子化，如果存在代数同态 C∞ (M) → A，把柏松括号映射成交换子。在这个过程中，一个交换的代数变成了一个不交换的代数，所以数学上一般的把交换变成不交换的过程都叫做量子化。

M 上的很多几何（或者力学系统的动力学特性）可以通过 C∞ (M) 上的柏松括号来刻画，甚至很多构造都不需要流形 M 出现，只需要一个一般的柏松代数都可以做，这就反映了非交换几何的想法：用代数的信息刻画几何对象，然后研究它的非交换推广。下面我们将会给出一些基本的例子。

一：拓扑

紧Hausdorff空间在一般拓扑中是非常基本的研究对象，想必大家都不会陌生。那么，令X 为一个紧Hausdorff拓扑空间，如何用代数的信息来刻画 X 呢？

在很多数学分支里面，或多或少都会看见如下的对偶性：

【几何对象（X ）】对偶于【代数对象（ X 上的某些“函数”）】

我们试图用这个理念来代数化X 。令 A＝C 为 X 上全体连续函数组成的复线性空间，它关于函数的逐点相乘构成一个交换 ℂ-代数。但是这样的信息并不足以刻画 X 的拓扑，我们需要一些更“精细”的信息。于是对任意 f ∈ A ，定义 f 的范数 ||f|| 为 |f| 在 X 上的最大值，定义 f 的 *-运算 f* 为 f 的复共轭。那么 A 关于 || · || 和 * 构成一个交换含单位 C*-代数。我在这里不想回顾 C*-代数的定义——无非就是一个 ℂ-代数带上范数和 *-运算，满足一些公理。下面的定理说明， C(X) “完全决定”了 Ⅹ ，也就是说， C(X) 作为交换含单位 C*-代数，是 X 的合格的代数化。

【Gelfand-Naimark定理】 反变函子 X ↦ C(X) 给出了范畴 { 紧Hausdorff空间，关于连续映射 }ᵒᵖ 和范畴 { 交换含单位 C*-代数，关于 *-同态 } 的等价。

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