【SEP】数学与哲学唯名论 布埃诺·奥塔维奥（三） (6-5)

为了解决这些问题，模态结构主义者提出了一个总体框架。其主要思想是，尽管数学关注的是对结构的研究，但这种研究可以通过只关注可能的结构，而不是实际的结构来完成。因此，模态解释不致力于实际的数学结构；不致力于它们作为对象的存在，也不致力于碰巧“构成”这些结构的任何对象。这样一来，对它们的本体论承诺就被避免了：唯一的主张是有关的结构是可能的。为了阐明这一点，模态-结构解释是以基于S5的二阶模态语言来表述的。然而，为了防止对模态运算符的集合理论特征的承诺，赫尔曼把这些运算符当作原始的(1989年，第17页和20-23页)。

我们采取了两个步骤。首先是提出一个适当的翻译方案，在这个方案中，每一个普通的数学陈述S被当作一个假设的陈述的椭圆，即：S在一个适当的结构中会成立。

例如，如果我们考虑的是数论陈述，比如Peano算术（简称PA）中阐述的那些陈述，我们关注的结构是满足PA公理的“级数”或“ω-序列”。在这种情况下，每个特定的陈述S将被（大致）翻译为：

☐∀X（X是一个满足PA公理的ω序列→S在X中成立）。

根据这个声明，如果有满足PA公理的ω序列，S将在其中成立。这是模态-结构解释的假设成分(关于详细的分析和精确的表述，见(Hellman 1989, pp. 16-24)) 。分类成分构成了第二步(Helman 1989, pp. 24-33) 。这个想法是假设适当种类的结构在逻辑上是可能的。在这种情况下，我们有：

◊∃X（X是一个满足PA公理的ω序列）。

也就是说，存在满足PA公理的ω序列，这在逻辑上是可能的。按照这种方法，数学语句的保真翻译可以在没有本体论成本的情况下提出，因为只假设有关结构的可能性。

然后，模态结构主义者指出，定理证明的实践可以在这个框架中恢复（大致上说，通过对所考虑的定理的原始证明的每一行应用翻译方案）。此外，通过使用翻译方案和适当的编码设备，我们可以认为，算术、实分析，甚至在某种程度上，集合理论都可以在唯名论的背景下得到恢复（Hellman 1989, pp.16-33, 44-47, and 53-93）。特别是， “通过利用编码设备，几乎所有在当前物理理论中经常遇到的数学都可以在[实分析]中进行”(Hellman 1989, pp. 45-46) 。然而，集合理论是否以这种方式被唯名论化的问题，事实上是有问题的——正如模态结构主义者所承认的那样。毕竟，即使是建立具有不可能多的对象的结构存在的可能性，也不是明显的问题。

有了这个框架，模态结构主义者就可以考虑适用性问题。其主要思想是采用假设的成分作为容纳数学应用的基础。相关的结构是那些在科学的特定分支中常用的结构。在这一点上，需要考虑两个问题。

首先是应用数学声明的一般形式（Hellman 1989, pp.118-124）。这些陈述涉及三个关键部分：应用数学中使用的结构、数学结构所适用的非数学对象，以及指定数学结构与非数学对象之间特定关系的应用陈述。相关的数学结构可以用集合论来表述。让我们把应用语境中使用的集合理论称为Z。（这是二阶Zermelo集合理论，它是可以有限公理化的；我用∧Z来表示Z的公理的结合）。在应用环境中感兴趣的非数学对象可以在Z中表示为Urelemente，也就是说，表示为非集合的对象。我们将把“U”看作是某些感兴趣的非数学对象作为Urelemente包含在Z的结构中的声明。最后， “A”是应用声明，描述了Z的相关数学结构与U中描述的非数学对象之间的特定关系。我们现在可以提出一个应用数学声明的一般形式（Hellman 1989, p. 119）：

☐∀X ∀ f ((∧Z & U) X (∈f) → A) 。

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