数学分支全部代数化 (4-4)

第一个是Grothendieck早期关于nuclear space的工作，可以看成是把一小部分泛函分析代数化。这段研究的观点应该是试图研究topological vector space（或者F space之类的）的范畴，特别地，如何定义tensor product（大家广泛使用的希尔伯特空间张量积的定义不是范畴意义下的张量积！事实上希尔伯特空间范畴根本不存在按照通常的万有性质定义的张量积！）。其中肉眼可见的麻烦是Hom set定义拓扑的方法不唯一，不像线性空间范畴Hom set仍然自动是线性空间（这种范畴有没有名字，是enriched category吗？），这也导致了潜在的张量积的定义不唯一。Nuclear space的一个定义就是使得两种不同张量积定义实际上相同的空间。特别地，这个理论会给出Schwartz kernel theorem的一个非常漂亮的证明。

第二个是传统的调和分析可以用Heisenberg group和Weil表示的框架来解读。简单的说，Heisenberg group由L²(ℝⁿ) 上的三种常规的unitary算子生成，并且傅立叶变换normalize Heisenberg——它在辛群的Weil表示里面。按照这个视角可以重新解读经典的调和分析里面的一些基本的现象，我懒得展开了，直接看这篇：

ON THE ROLE OF THE HEISENBERG GROUP IN HARMONIC ANALYSIS, BY ROGER HOWE

最后是参考文献环节。相关的文献实在太多，比如Alain Connes就有数不尽的贡献。对我个人影响最大的文献是：

Elements of Noncommutative Geometry, by Jose M.Gracia-Bondia, Joseph C.Varilly and Hector Figueroa

Lectures on Noncommutative Geometry, Victor Ginzburg

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