数学分支全部代数化 (4-3)

【Serre-Swan】函子 E ↦ Γ(E) 给出了（ X 上向量丛范畴）到（投射 C(X)-模）范畴的等价。

特别地，X 的拓扑 K 理论和 C(X) 的代数 K 理论典范同构。关于拓扑 K 理论，有著名的Atiyah-Janich定理：

【Atiyah-Janich】我们有典范同构 ind：[X，F] → K(X)，其中 F 是一个无穷维可分希尔伯特空间里面的全体Fredholm算子组成的集合，拓扑由算子范数给出。有趣的是，这个定理可以推广到非交换的含单位 C*-代数，其中涉及的结构叫Fredholm模，利用它可以给出指标定理在算子代数层面的解释甚至推广。

三、测度论‬

现在令(X，μ) 为测度空间。什么样的代数可以描述测度？这里我们考虑 X 上的全体本质有界函数 L∞(X，μ) 组成的代数。它按照本质上确界和复共轭仍然构成一个 C*-代数，不过实际上，这是一类非常特殊的 C* 代数，叫做冯.诺伊曼代数。测度 μ 给出这个冯.诺伊曼代数上的一个weight φ：L∞ (X，μ)⁺ → [0，∞]，φ(f)＝∫xfdμ。

根据我们的原则， (L∞(X)，φ) 应该是 (X，μ) 的代数化，不过我对这个领域完全不了解，所以不知道准确的定理是什么。

类似的，一般的非交换冯.诺伊曼代数的研究被认为是非交换版本的测度论。冯.诺伊曼代数在很多数学分支（特别是数学物理）里有非常神奇的应用，这里只提一下Jones的工作，很遗憾我一点都不懂。

四、微分几何

现在令X 为闭微分流形。另外一个回答 /question/5954... 提到了， C∞ (X) 作为smooth ℝ-代数完全决定了 X 。更进一步，只从 C∞ (X) 出发我们可以轻易的构造出 X 上的向量场和 1-微分形式：向量场就是 C∞ (X) 到自己的 ℝ-derivation， 1-形式可以通过Kahler differential（这个构造完全是代数的）得到。更进一步， C∞ (X) 的Hochschild homology和cohomology给出了 X 上的微分形式和polyvector fields：

【Hochschild-Kostant-Rosenberg】 令 H Hₖ，H Hᵏ 分别为Hochschild homology和cohomology，则 H Hₖ(C∞(X))＝Γ(∧ᵏT*X)，H Hᵏ(C∞(X))＝Γ(∧ᵏTX) 。

相应地，所有的differential calculus应该都可以完全代数的处理（这里特别想提一下Cartan's magic formula的证明）。不过我个人一直有一个疑惑：怎样从 C∞ 出发，完全代数地定义 X 上的top forms的积分？

在经典的微分几何里面，这一步用到了单位分解，我不知道怎样代数的操作这个过程。不过原则上C∞ (X) 可以完全决定 X ，所以这件事应该也是可以做的。我觉得对我自己来说，问题出在了smooth这个blackbox：什么叫smooth ℝ-代数？

在非交换几何里面，给定一个一般的结合代数A ，也可以用类似的办法定义 A 上的“非交换微分形式”，甚至Chern character、Chern-Weil theory都有推广。然而这些也仅仅是个开始。

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（同人小说网http://tongren.me），接着再看更方便。