数学分支全部代数化 (4-2)

我简单介绍一下这个函子的逆函子如何给出，详细的证明在很多地方都可以找到，我比较喜欢Folland的Abstract Harmonic Analysis。给定一个交换含单位C*-代数 A ，令 σ(A) 为 A 的所有极大理想组成的集合（注意这里和代数几何里面的 Spec 的相似性），或者等价地， A 的所有连续特征 χ：A → ℂ 组成的集合，称为 A 的谱集。用后面一种视角，可以在 σ(A) 上定义弱 *-拓扑，因为特征也是连续泛函。对于任何 f∈A ，定义 f 的 Gelfand 变换 ˆf：σ(A) → ℂ 为 σ(A) 上的函数 ˆf(χ)：＝χ(f) ，于是 σ(A) 上的弱 *-拓扑就是使得所有的Gelfand变换都连续的最粗的拓扑。可以证明这样的 σ(A) 确实是一个紧Hausdorff空间，并且这两个函子互逆。特别地，Gelfand变换给出 C*-代数同构 ˆ·：A → C(σ(A)) 。

这个美妙的定理告诉了我们紧Hausdorff空间确实可以用完全代数的信息刻画。更美妙的是，这个定理还和一些代数和拓扑里面基本的操作是协调的：对一个局部紧Hausdorff空间X ，我们可以考虑它的单点紧化 X⁺＝X∪{∞} ；对于一个不含单位的交换代数 A ，我们也可以自然的构造一个含单位的代数 A⁺＝A ⨁ ℂ ，其中乘法定义为 (α，λ) (b，μ)＝(αb＋μα＋λb，λμ) ，单位元为 (0，1) 。这两个构造都可以用万有性质刻画，单点紧化是最“小”的紧化， A⁺ 也是 A 最“小”的单位化。上面的范畴同构可以通过这两个操作自然的扩充为局部紧Hausdorff空间范畴到交换 C*-代数范畴的同构，但是要稍作修改，比如要把局部紧Hausdorff空间 X 映射到 C₀(X) ，也就是 Ⅹ 上“在无穷远处等于 0 “的全体连续函数组成的 C*-代数。相应地，如果考虑最“大”的紧化，也就是Stone-Cech紧化，对应的代数是 Cb(X) ，也就是 Ⅹ 上全体有界连续函数组成的 C*-代数，它是 C₀(X) 最“大”的单位化。不过这一步似乎不能得到范畴等价。

于是原则上，研究局部紧Hausdorff拓扑空间等价于研究交换C*-代数。特别地，一些拓扑上的构造可以直接在代数层面做，比如可以定义一个 C*-代数的suspension——这里甚至都不需要交换性条件，在非交换几何的视角下，每个 C*-代数也对应“某种”拓扑对象。至于这样看的好处是什么，很遗憾我还没有理解。但是这并不妨碍我非常喜欢这样的视角。

多说一句，有界自伴算子的“泛函演算”，可以用Gelfand变换非常漂亮地解释：考虑这个算子T 自己生成的交换 C*-代数 A ，那么 A 的谱集 Σ＝σ(A) 就是 T 的谱集，于是 Σ 上的每个连续函数 f 都可以通过Gelfand逆变换给出 A 中的一个算子 Tf ，这也就是泛函演算。这个过程显然可以扩充到全体有界Borel可测函数组成的 C*-代数。

二、向量丛‬

令X 为紧Hausdorff拓扑空间， E → X 为 X 上的拓扑复向量丛。怎样代数地刻画 E 呢？这时候自然的代数对象是 Γ(E) ，也就是 E 的全部整体截面构成的复线性空间。注意 Γ(E) 不但是一个复线性空间，它还是一个 C(X)-模（这里把 C(X) 看成环就足够了）。事实上，由于每个向量丛都是一个平凡向量丛的direct summand， Γ(E) 是一个投射 C(X)-模。下面的定理说明， Γ(E) 完全决定了 E ，所以 Γ(E) 作为一个投射 C(X)-模，是 Γ(E) 合格的代数化。

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