【SEP】数学与哲学唯名论 布埃诺·奥塔维奥（二） (5-4)

当然，这假设M是有穷公理化的。但是，在数学理论不能被有穷公理化的情况下（比如Zermelo-Fraenkel集合论），我们如何应用（C）？在这种情况下，我们无法对该理论的所有公理进行联结，因为其中有无穷多的公理。菲尔德曾经讨论过这个问题，他最初提出，数学虚构主义者可以使用替代性量化来表达这些无穷连词（Field 1984）。在这篇论文修订版的后记中（Field 1989, pp. 119-120），他指出，只要有关的数学和物理理论是用紧凑性成立的逻辑来表达的，就可以避免替代性量化。因为在这种情况下，整个理论的一致性被简化为其每个有穷连接的一致性。

但是，此举存在三个问题：

1、在这种情况下，对替代性量化的使用的一个关切涉及到替代性实例的性质。如果后者被证明是抽象的，如果这种替代性实例不是单纯的题词，那么它们就不能为唯名论者所用。如果替代实例是具体的，唯名论者需要证明有足够多的实例；

2、紧致性定理的陈述涉及集合论的谈话：令G是一个公式集，如果G的每个有穷子集都是一致的，那么G就是一致的。唯名论者怎么能依赖一个其陈述本身涉及抽象实体的定理呢？为了使用这个定理，需要一个适当的重新表述；

3、让我们承认有可能在不提及集合的情况下重新表述这一陈述。那么，唯名论者能否使用紧致性定理呢？众所周知，这个定理的证明是以集合论为前提的。紧致性定理通常是作为一阶逻辑的完备性定理的一个推论提出的，而一阶逻辑的完备性定理的证明是假定集合论的（例如，见Boolos和Jeffrey 1989，第140-141页）。另外，如果要直接证明紧致性结果，那么就必须构建G的适当模型，而这又需要集合论。因此，除非数学虚构主义者能够为集合论本身提供一个适当的唯名论化策略，否则他们无权使用这一结果。换句话说，在菲尔德式唯名论者能够依赖元逻辑的结果之前，还需要做更多的工作。

但也许这种批评忽略了菲尔德方案的全部意义。正如我们所看到的，菲尔德并不要求一个数学理论M是真实的，才可以使用它。只要求它的保守性。因此，如果M被添加到一个由唯名论主张组成的主体B*中，就不会得到任何新的唯名论结论，而这些结论不是由B*单独得到的。换句话说，菲尔德的策略所要求的是制定适当的唯名论机体，以使数学可以应用于此。同样的观点也适用于元逻辑的结果：只要它们被应用于唯名论的要求，菲尔德就没有问题。

这个回答的问题是，它把数学虚构主义者的程序卷入了一个闭环。虚构主义者不能依靠数学的保守性来证明使用一个数学结果（紧致性定理）的合理性，而这个数学结果是保守性概念本身的表述所需要的。因为在这样做的时候，虚构主义者假定保守性的概念在唯名论上是可以接受的，而这正是问题的关键所在。回顾一下，菲尔德使用紧致性定理的动机是重新表述保守性，而不必假定抽象的实体（即语义学和一致性的证明理论说明所要求的实体）。因此，在这一点上，数学虚构主义者还不能使用保守性的概念；否则，整个计划就无法启动。我的结论是，与数学的任何其他部分类似，元逻辑的结果也需要以唯名论的方式获得。否则就会给唯名论带来麻烦。

3.2.2保守性和原始模式

但也许数学虚构主义者有一条出路。正如我们所看到的，菲尔德用逻辑一致性的原始概念◊A阐明了保守性的概念。而且他还指出，这个概念与模型理论中的一致性概念有关——特别是与冯·诺伊曼-伯纳斯-哥德尔的有穷-可公理化集合论（NBG）中这个概念的表述有关。这是通过两个原则实现的（Field 1989, p. 108）：

(MTP)：如果☐（NBG→有一个'A'的模型），则◊A

(ME)：如果☐（NBG→没有'A'的模型），那么¬◊A。

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