【SEP】数学与哲学唯名论 布埃诺·奥塔维奥（二） (5-3)

请注意，在对时空区域进行量化时，菲尔德假设了一种实体主义的时空观，根据这种观点，有一些时空区域并没有被充分覆盖（Field 1980, pp.34-36; Field 1989, pp.171-180）。鉴于这一结果，数学虚构主义者被允许从涉及N加数学理论T的前提中得出唯名论的结论。毕竟，由于数学的保守性，这种结论可以独立于T而得到。然后，扩展表征定理的作用是确定，尽管缺乏对数学对象的量化，但通过用函子（如该理论通常的表达方式）或用比较谓词（如数学虚构主义者所赞成的）来表述牛顿引力理论，恰恰可以确定相同类别的模型。因此，扩展的表征定理确保数学的保守性与适当的唯名论主张（通过比较性谓词表述）的使用不会改变原始理论的模型类别：同样的比较关系被保留下来。因此，菲尔德所提供的是一种唯名论化策略，由于它减少了本体，它似乎是相对于数学唯名论立场的一个很有希望的候选。

数学虚构主义者应该如何对待物理理论，比如也许是弦论，这些理论似乎不是关于具体的可观测对象的？假设这些理论缺乏经验上的重要性，一种可能的回应是简单地拒绝它们是物理理论，因此它们不是数学虚构主义者需要提供唯名论对应物的那类理论。换句话说，在这种理论获得相关的经验性意义之前，它们不需要让数学虚构主义者担心。这类理论将被归类为数学的一部分，而不是物理学的一部分。

3.2元逻辑和保守性的表述

但数学是保守的吗？为了确立数学的保守性，数学虚构主义者使用了元逻辑的结果，例如一阶逻辑的完全性定理和紧致性定理（菲尔德1992，1980，1989）。那么问题来了，数学虚构主义者是否可以利用这些结果来制定方案。

在两个关键之处，菲尔德使用了元逻辑的结果：(a)在他使用唯名论可接受的术语重新表述保守性的概念中（菲尔德1989，第119-120页；菲尔德1991），以及(b)在他对集合论的保守性的唯名论证明中（菲尔德1992）。这两个结果对菲尔德来说至关重要，因为它们为数学虚构主义者确立了保守性的充分性。因为(a)解决了后者可以在不违反唯名论的情况下提出该概念，(b)得出结论，保守性是数学实际具有的一个特征。但如果这两个结果都不合法，菲尔德的方法就无法落地。现在我将考虑这两种元逻辑结果的使用在唯名论的基础上是否可以接受。

3.2.1保守性与紧致性定理

让我从（a）开始。数学虚构主义者依靠紧致性定理以可接受的方式——即不参考数学实体­­——来表达保守性的概念。如上所述，保守性是根据一致性来定义的。但是，通常用语义术语（作为适当模型的存在）或证明理论术语（根据适当的证明）来表述此概念。但是，正如菲尔德所承认的那样，这两种一致性表述是柏拉图式的，因为它们依赖于抽象对象（模型和证明），因此在唯名论的角度上是不可接受的。

数学虚构主义的出路是避免为了表达数学的保守性而转到元语言。我们的想法是，在对象语言中，通过引入逻辑一致性的原始概念◊A，来说明一个给定的数学理论是保守的。因此，如果B是任何句子，B*是将B限制于非数学实体的结果，而M1，... ，Mn是数学理论M的公理，M的保守性可以通过以下模式来表达（Field 1989, p.120）：

(C) 如果◊B, 那么 ◊ (B*∧M1∧ … ∧Mn).

换句话说，如果一个数学理论M与每一个关于物理世界B*的一致性理论相一致，那么它就是保守的。

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