【SEP】数学与哲学唯名论 布埃诺·奥塔维奥（二） (5-2)

数学虚构主义策略的第二步是提供这种唯名论的前提。菲尔德在一个重要案例中做到了这一点：牛顿的引力理论。他阐述了一项具有可敬传统的工作：希尔伯特的几何学公理化（Hilbert 1971）。希尔伯特所提供的是一个几何学的合成表述，它免除了公制概念，因此不包括任何实数上的量化。他的公理化是基于点、间性（betweenness）和同构等概念。直观地说，我们说一个点y在x和z之间，如果y是线段中的一个点，其端点是x和z。同样直观的是，如果从点x到点y的距离与从点z到w的距离相同，我们就说线段xy与线段zw是全等的。在研究了所得系统的形式属性之后，希尔伯特证明了一个表示定理。他在一个更强大的数学理论中表明，给定一个他提出的空间公理系统的模型，有一个从点对到非负实数的函数d，从而满足以下“同构条件”：

1．对于所有的x、y、z和w点，xy与zw全等，当且仅当d (x, y) = d (z, w) 。

2． 对于所有的x、y和z点，y位于x和z之间，当且仅当d(x, d (y, d (x, z) 。

结果是，如果函数d被用来代表距离，我们就会得到关于全等性和间隔性的预期结果。因此，尽管我们不能在希尔伯特的几何学中谈论数字（没有这样的实体可以量化），但有一个元理论的结果，将关于距离的断言与理论中可以说的东西联系起来。菲尔德称这种数值主张为纯几何断言的抽象对应物，它们可以被用来以更平稳的方式得出关于纯几何主张的结论。事实上，由于表征定理的存在，关于空间的结论，在没有实数的情况下是可以得出的，这比我们通过希尔伯特公理的紧缩证明来实现要容易得多。这说明了菲尔德的观点，即数学的可应用性来自于缩短性推导（Field 1980, pp.24-29）。

粗略地说，菲尔德所建立的是如何将希尔伯特关于空间的结果扩展到时空区域。与希尔伯特的方法类似，菲尔德没有用数字向量来表述牛顿定律，而是表明它们可以用比较谓词来重塑。例如，菲尔德没有采用诸如“x的重力势能”这样的函子，它被认为有一个数值，而是采用了一个比较谓词，如“x和y之间的重力势差小于z和w之间”。依靠一组表示定理（其作用与希尔伯特的表示定理在几何学中的作用相同），菲尔德确立了几个数值函子如何能从比较谓词中“获得”。但为了使用这些定理，他首先展示了如何只用比较谓词来表述牛顿的数字定律（例如，重力场的泊松方程）。其结果(Field 1989, pp. 130-131)是以下的扩展表示定理。设N是一个仅以比较谓词（而不求助于数字向量）表述的理论。对于N的任何模型S，其定义域是由时空区域构成的，存在着：

1. 一个1-1的时空坐标函数f（在广义的伽利略变换下是唯一的）将S的时空映射到实数的四元组；

2. 一个质量密度函数g（在正的乘法变换下是唯一的），将S的时空映射到一个非负实数的区间；和

3. 一个引力势函数h（在正的线性变换下是唯一的）将时空映射到一个实数区间。

此外，所有这些函数都“保留了结构”，在这个意义上，用它们定义的比较关系与N中使用的比较关系相吻合。此外，如果f、g和h被当作适当的函子的指称，牛顿引力理论的定律在其函子形式中是成立的。

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