【SEP】数学与哲学唯名论 布埃诺·奥塔维奥（一） (5-3)

实际上，相信数学对象存在的主要原因之一——有人说这是唯一没有问题的原因（Field 1980）——是由于数学在科学中的不可或缺的应用而给出的。这一思想的关键最初由蒯因提出，后来由普特南以不同的方式表达，本体论承诺应仅限于那些对于我们世界中最好的理论而言不可或缺的实体（Quine 1960； Putnam 1971；Colyvan 2001a）。马克·科利文（Mark Colyvan）用以下术语表述了这一论点：

（P1）我们应该在逻辑上致力于所有事物，并且只致力于那些对于我们世界中最好的理论而言不可或缺的实体；

（P2）数学实体对我们世界上最好的理论而言是不可或缺的；

因此，（C）我们应该在本体论上致力于承认数学实体的存在。

第一个前提主要取决于蒯因的本体论承诺标准。在用一阶逻辑语言对我们世界上最好的理论进行调控之后，这些理论的本体论承诺可以被解读为是存在性量化的变量的价值。但是，我们如何从一个理论上的本体论承诺转向我们应该在本体论上承诺的内容？这是不可或缺性论证的第一个前提出现的地方。如果我们处理的是我们关于世界的最好理论，那么，恰恰是这些理论所不可或缺的那些东西，就是我们应该承诺的东西。 (当然，一个理论可以对更多的对象进行量化，而不是对那些不可或缺的对象进行量化。）通过确定在解释各种现象时援引的不可或缺的成分，并注意到数学实体就在其中，柏拉图主义者就能对应用数学的成功做出解释。

然而，事实证明，柏拉图主义者是否可以解释数学应用的成功是有争议的。由于数学对象是抽象的，因此尚不清楚为什么这样的实体假设有助于理解应用数学的成功。因为物理世界是由时空中的物体组成，而不是由柏拉图主义者所假定的实体构成的。因此，不清楚为什么对抽象（数学）实体之间关系的正确描述甚至与理解数学应用所涉及的物理世界中的具体物体的行为有关。仅仅提到物理世界实例化了由各种数学理论笼统描述的结构（或子结构）是不够的（参见Shapiro 1997）。因为存在着无限多的数学结构，并且没有办法唯一地确定它们中的哪一个实际上被实例化了，或者甚至只是部分地被实例化在物理世界的一个有限区域中。鉴于世界上相同的物理结构可以通过非常不同的数学结构来容纳，因此这里存在真正的不确定性。例如，量子力学现象可以用群论结构（Weyl 1928）或希尔伯特空间理论中出现的结构（von Neumann 1932）来表征。从数学上讲，这种结构非常不同，且无法凭经验确定它们之间的关系。

尽管柏拉图主义声称能够解释应用数学的成功是有争议的，但适应这种成功往往被视为柏拉图主义的一个重要好处。争议较少的是，柏拉图主义者当然能够描述数学理论在科学实践中的实际使用方式，而不必重写这些理论。正如下文将明确的那样，这是该观点的一个重要好处。

反过来，唯名论面临着必须解释在科学理论化中成功使用数学的困难。因为根据唯名论，数学对象并不存在，或者至少不被认为是存在的，所以不清楚提及这些实体如何有助于科学理论的经验性成功。特别是，如果事实证明，对数学实体的引用确实是我们关于世界上最好的理论所不可或缺的，那么唯名论者怎么能否认这种实体的存在？正如我们将在下面看到的，数学哲学中出现了几种唯名论的观点，以回应基于数学的不可或缺性的考虑所提出的挑战。

2.3统一的语义学

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