【SEP】数学与哲学唯名论 布埃诺·奥塔维奥（四） (5-1)

第二种考虑是更详细地研究所研究的物理（或物质）对象与数学框架之间的关系。这些是“合成决定”关系（Hellman 1989年，第124-135页）。更具体地说，我们必须确定非数学对象之间的哪些关系可以在应用数学陈述的前项中被当作指定“实际物质情形”的基础（Hellman 1989, p. 129）。模态结构主义的建议是考虑一个综合理论T′的模型。这个理论包含并联系了应用数学理论的词汇（T）和有关的合成词汇（S），它直观地固定了实际的物质情形。假设T在同构的前提下决定了一种特定的数学结构（例如包含Z），而T′是T的延伸。在这种情况下，如果以下条件成立，那么一个提议的“合成基础”将是充分的：

让a是T′的（数学上的）标准模型类，让V表示T′的全部词汇：那么S决定a中的V，即对于a中的任何两个模型m和m′，以及它们的域之间的任何双射关系f，如果f是一个S同构，它也是一个V同构。 (Hellman 1989, p. 132.)

当然，在这种情况下引入同构是为了适应所研究的领域的（应用）数学部分与非数学部分之间的结构保存的需要。这在关键的情况下是成立的，即f对合成属性和关系的保留（S-同构）导致了对整个理论T′的分析性应用数学关系的保留（V-同构）。应该注意的是， “合成”结构并不是指“捕捉”有关数学理论的全部结构，而只是其应用部分。 (回顾一下，赫尔曼是从应用数学理论T开始的）。

这可以用一个简单的例子来说明。假设有穷多的物理对象显示出一种线性秩序。我们可以通过定义一个从这些物体到自然数的一个初始段的函数来描述这一点。模态结构主义者的合成决定条件所要求的是，仅仅物体之间的物理秩序就能抓住这个函数以及它对物体的描述。这并不是说整个自然数结构就这样被抓住了。这个例子也提供了上面提到的应用数学声明的一个说明。Urelemente（不是集合的对象）是有关的物理对象，相关的数学关系是同构的，数学结构是具有通常线性顺序的自然数段。

在模态结构概念上，数学的应用是通过在数学结构的（部分）和那些代表物质情形的结构之间建立适当的同构性。这种程序是合理的，因为这种同构建立了数学和非数学层面的（相关部分）结构上的等同性。

然而，这个建议面临两个困难。第一个是关于（应用）数学领域和非数学领域之间的结构等同性的本体论地位。如果其中一些结构涉及“物质”对象，我们有什么理由可以声称所考虑的结构在数学上是相同的？当然，鉴于结构上的等同性是通过同构来建立的，物质对象已经用结构术语来表述——这意味着一些数学已经被应用到有关领域中。换句话说，为了能够代表数学的适用性，赫尔曼假设一些数学已经被应用。这意味着，对数学的适用性的纯数学表征（通过结构保存）本质上是不完整的。应用的第一步，即物质领域的数学建模，没有也不可能被容纳，因为那里不涉及同构性。事实上，鉴于假设该领域没有用数学术语来阐述，那里没有定义同构。

可以说，模态结构主义的策略并不要求（应用）数学结构和描述物质情形的数学结构之间的同构。该策略只要求整体理论T′的两个标准模型之间的同构，它将数学理论T和物质领域的描述S联系起来。在回答中，请注意，这只是把难度提高了一个层次。为了使T′能够扩展应用数学理论T，并在T和物质情形之间提供联系，T′的一个模型将必须是，特别是T和S的模型。因此，如果模态结构主义者的合成决定主张得到满足，T′的两个模型之间的同构性将决定S的模型和T的模型之间的同构性。

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