【SEP】数学与哲学唯名论 布埃诺·奥塔维奥（三） (6-1)

这两个选项的开始方式是一样的。假设

(1) ¬◊T.

我们必须建立

(2) ∃f A1...An ¬◊（A1∧...∧An）。

从(1)和(MTP#)可以得出

(3) ¬☐ (NBG →有一个'T'的模型)。

因此

(4) ◊ (NBG ∧没有'T'的模型)。

让我们假设紧凑性定理的模态代用词。

(Compact M)☐ (NBG → 如果'T'没有模型，那么 ∃f A1...An 这样， (A1∧...∧An)没有模型)。

请注意，由于模态代理是在模型方面（而不是在原始模态算子方面）提出的，它仍然不是数学虚构主义者所需要的。他们需要的是（Compact#），但需要证明他们能得到它。在这一点上，选项开始出现分歧。

第一个选项包括从（4）和（Compact M）中得出

(5) ◊ (∃f A1...An 这样， (A1 ∧...∧An)没有模型)。

然而，此举存在着困难。首先，请注意（5）并不等同于（2），而后者才是要实现的结果。此外，与(2)相反，(5)是以模型理论的术语来表述的，因为它包含了对某一模型不存在的主张。而所需要的是在一致性的原始概念方面的类似声明。换句话说，我们需要(5)的唯名论对应物，而不是(5) 。

但是（5）有一个很好的特点。它是（Compact）的结果的模态化表述。而且，由于(5)只陈述了不存在特定类型的模式的可能性，因此可以说它在唯名论上是可以接受的。 (如下文所述，模态结构主义者沿着这些思路推进探索模态的唯名论化策略；见Hellman(1989) 。) 然而，菲尔德对这一举措持怀疑态度。在他看来，模态不是本体论的一般替代品(Field 1989, pp. 252-268) 。而他的担心之一是，通过允许引入模态运算符，作为一般的唯名论化策略，我们把所考虑的理论的物理内容模态化掉了。然而，由于元逻辑的主张并不被期望有物理的后果，这种担心在这里不需要出现。无论如何，鉴于(5)没有建立起需要建立的东西，它并没有解决这个问题。

第二种选择包括移到(5′)而不是(5) ：

(5′) ☐ (NBG → ∃f A1...An 这样， (A1 ∧...∧An)没有模型)。

请注意，如果(5′)成立，我们就会解决这个问题。毕竟，只要对(ME#)做一个简单的修改(即如果☐ (NBG → ∃f A1...An，使得(A1∧...∧An)没有模型)，那么¬◊ (A1 ∧...∧An)) ，由(5′)和(ME#)可知

(2) ∃f A1...An ¬◊ (A1 ∧...∧ An) 。

这就是我们需要的结论。这里的问题是（5′）并不是由（4）和（CompactM）得出的。因此，我们无法推导出它。

显然，很可能有另一个选项可以建立起预期的结论。但是，至少可以说，数学虚构主义者必须在有权使用元逻辑结果之前提出它。在那之前，不清楚这些结果在唯名论上是否可以接受。

3.2.3元逻辑和集合论保守性的证明

我现在应该考虑问题（b）：菲尔德对集合论的保守性的唯名论证明。让我们承认，保守性的概念是以某种唯名论上可接受的方式提出的。如果菲尔德的证明是正确的，他将证明数学本身是保守的——只要我们假设数学对集合论的通常还原。菲尔德是如何证明集合论的保守性的呢？这是通过一个巧妙的论证，它改编了菲尔德的柏拉图式保守性证明之一（菲尔德1980）。就我们目前的目的而言，我们不需要研究这个论证的细节，只需注意在一个关键点上，一阶逻辑的完备性被用来建立其结论（Field 1992, p. 118）。

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