【SEP】斯坦尼斯瓦夫·莱希涅夫斯基（二） (6-2)

(OL) ∀Aa┌Aεa↔(∃B┌BεA┐

∧∀BC┌(BεA∧CεA)→BεC┐

∧∀B┌BεA→Bεa┐)┐

这个公理及其表述有几处值得注意。它采用普遍量化等价关系的形式，右边解释左边，因此它是基元“ε”的一种隐含定义。右侧从罗素那里得到的启示是：至少有一个A（第一连词），最多有一个A（第二连词），任何A都是a（第三连词）。大写变量的使用是一种非正式的辅助手段：它们标记了句子中（尤其是“ε”之前）变量的位置，在这些位置上，如果变量是单数，它只能产生其上下文中的一个真理。在使用小斜体变量时，则不存在这种单数推定。原则上只需要一种变量类型。在他的公理和几条推理规则的基础上，勒希涅夫斯基发展了一个强大的一般逻辑系统，其强度可与简单的类型理论相媲美，他在1929年写道：“1921年，我发展了我的类型论……它类似于怀特海和罗素的类型论，我以某种方式对其进行了概括和简化”（《全集》，421页）。

3.3原论Protothetic

整分论和本体论都预设了一个更深的逻辑层，包括由“如果”、“不是”和“并且”等连接词组成的命题逻辑，以及尚未被解释的量词“对于所有”（∀）和“对于某些”（∃）的逻辑。把本体论建立在公理基础上之后，莱希涅夫斯基转向了本体论的公理化。他最初说的是“演绎理论”（deduction），这是怀特海和罗素对命题微积分使用的名称，但由于他们直到后来才引入量词逻辑，所以他创造了Protothetic一词，源自希腊语，意为“第一论题”。莱希涅夫斯基逻辑的一个特点是，他在逻辑的最基本部分，甚至在引入名称之前，就引入了量词。这与大多数现代理论不同，后者只有在引入名称和谓词时才引入量词。这引出了有关莱希涅夫斯基中量词性质的问题，我们将在下文中再次讨论。

勒希涅夫斯基对公理系统的偏好，部分是基于《本体论》的成功，部分也是基于对定义性质的考虑，是将逻辑系统建立在物质等价的单一连接词和通用量词之上。由于他不知道如何从等价性的角度消除联结的连接词，他在为“原论”（Protothetic）做这件事的过程中被耽搁了一段时间。既然有了量词和等价性，否定就很容易定义了，罗素曾向弗雷格建议过这样一种方式：

(Def. ∼) ∀p┌∼p↔(p↔∀r┌r┐)┐

莱希涅夫斯基 21 岁的博士生阿尔弗雷德·泰特鲍姆（Alfred Teitelbaum）为他找到了解决方法，他后来用自己的名字阿尔弗雷德·塔尔斯基（Alfred Tarski）闻名于世。它不仅包括句子的量化，还包括句法函数或连接词的量化：

(Def. ∧) ∀pq┌p∧q↔∀f┌p↔(f(p)↔f(q))┐┐

在这种情况下，量化单位连接词。假定只有断言、否定、同义反复和矛盾这四个连接词，那么就可以直接证明右边等价于p和q的联结。塔尔斯基的博士论文就是围绕这一结果展开的。

至于公理化，莱希涅夫斯基知道等价的纯理论可以建立在两个公理之上，这两个公理分别说明了偏斜传递性和关联性：

(P1) ((p↔r)↔(q↔p))↔(r↔q)

(P2) (p↔(q↔r))↔((p↔q)↔r)

纯粹等价微积分有一个奇怪的性质，莱希涅夫斯基证明了这一点：当且仅当一个公式中的每一个命题变量出现的次数都是偶数时，这个公式就是定理。在对这些公理进行普遍量化之后，又增加了一条公理来引入命题函数，在这里是双位函数：

(P3) ∀gp┌∀f┌g(pp)↔(∀r┌f(rr)↔g(pp)┐

↔∀r┌f(rr)↔g((p↔∀q┌q┐)

↔p)┐)↔∀q┌g(qp)┐┐┐

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