唯物主义和康托尔思想（一） (5-4)

我们可以取这个整数幂集的幂集。我们可以想象任意多次地应用这个操作。每次我们这样做时，我们都会定义抽象结构，其大小越来越大，无穷无尽。

康托似乎发现了一个新的无限宇宙，这个宇宙被我们最初的、可以说是幼稚的无限概念所隐藏。

这份讲义上的证明包含一个被许多数学家

认为具有革命性的论点。如果正确，它代表着人类思维首次瞥见了 存在于无限之外的事物。

争议

因此，在第二部分中，我们将回顾一些对康托定理的批判性反应。

亚里士多德与潜在无限性与实际无限性

第一种反对意见来自古典哲学，尤其是亚里士多德。亚里士多德认为，无限性作为一种概念上的必然性，本质上是不完整的。我们可以永远数下去，但在任何实际时刻，我们数到的数字都是有限的。亚里士多德把这种无限过程称为潜在无限性。

相反，如果我们想象一个无限的过程实际上会完成并结束，那么我们就会陈述一个矛盾。这就像思考一个方形的圆一样。

因此，潜在的无限性是可以的。但将无限性视为一个实际的事物、一个确定的整体是不可以的。

亚里士多德运用这一区别来化解芝诺悖论。事实上，直到 17 世纪，人们仍然对实际无限性持极其怀疑的态度。

莱布尼茨和牛顿发明的微积分开始削弱这一正统思想，因为它引入了无穷小量和无限切线序列的极限梯度的讨论。但对实际无穷性的怀疑仍然占主导地位，这解释了当代许多人拒绝接受康托尔的工作。例如，数学家庞加莱说：“没有实际的无穷；康托尔主义者忘记了这一点，这就是他们陷入矛盾的原因。”

当一个典型的亚里士多德主义者看到康托尔的证明时，他会认为无限集的幂集是一个不连贯的想法。由于无限集的所有元素都是潜在的，因此形成它的幂集或将其所有可能的子集视为实际的东西是没有意义的。因此，假设这样一个对象只是一个哲学错误。因此，从古典哲学的角度来看，康托尔的证明是可疑的。

无理数

我们可能想效仿亚里士多德，拒绝实际无限性。但在这样做之前，我们应该检查一下我们可能还需要抛弃什么。

大约两千五百年前，毕达哥拉斯学派认为整个宇宙及其中存在的一切都可以简化为整数及其比率。这一世界观因人们发现某些直线的长度无法用任何整数的比率来表示而受到颠覆。

数学中最古老、最著名的证明之一是 2 的平方根不是任何整数的比值。这是一个简短的反证法。众所周知，它的发现者被扔进了海里，这引起了极大的愤慨。

希腊人称这种长度为无法表达的量。今天我们称它们为无理数。无理数具有一些奇特的性质。任何整数比的十进制展开都是有限的，或者以有限长度的周期模式重复。相反，无理数的十进制展开是无限的，并且数字在任何尺度上都不会重复。最著名的例子是圆周率。我们知道圆周率的值精确到小数点后几百万位。但任何有限的十进制展开必然是一个近似值。

因此，我们面临一个令人惊讶的事实：我们无法知道无理数的精确值。但是，我们可以将无理数定义为无限比率序列的极限点。因此，我们可以通过计算越来越好的近似值越来越接近它的值，但我们永远无法完成这个无限的过程并得出它的实际值。

黑格尔也许诗意地提出，这种近似序列是一个量变质的过程。在无限的极限处，我们突破了质变，获得了一种具有新属性的全新对象。

这似乎确实发生在无理数上。从这个意义上讲，它们是完整的、实际的、无限的。

重点是：如果你接受包含无理数的实数轴，那么你就已经接受了体现实际无限性的抽象对象的存在。而且，你也已经接受了具有无法测量的量级的数字的存在。

因此，为了与亚里士多德学派保持一致，我们还必须拒绝实数，或者至少以一种全新的方式定义它们。

数学建构主义

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