唯物主义和康托尔思想（一） (5-3)

Figure 2:An infinite set S and its power-set P(S). If you assume yina czn pai-np elements of these sets，with nothing left over，then you are led to a contradiction. So they cannot be the same size.

康托尔给出了一个适用于任何集合的反证法。他假设相反的情况——一个集合和它的幂集大小相等——然后证明这个假设会导致逻辑矛盾。所以这个假设一定是错误的。

证明分为 5 个步骤，我已对其进行编号。

步骤 1 只是一个小技术细节，因此我们将忽略它。

第 2 步看起来很复杂，但只是定义了任何双射函数必须满足的属性。我们假设存在这样的双射。

第 3 步是证明的真正开始。现在看一下讲义上的第二个草图，它再次显示了一个集合，我们将其称为 LHS 上的 S，以及其幂集，位于 RHS 上。

康托尔让我们考虑一个特殊的集合。我们把它称为大 D。D 被定义为包含 S 元素的集合，这些元素与幂集中不包含该元素本身的元素配对。

我画了一个元素 x 作为例子。假设它与幂集中的一个包含元素 a 和 b 的集合配对。现在 x 本身不在该集合中。因此 x 将出现在我们的特殊集合 D 中。

x 代表任意元素。因此，D 可能有许多元素，具体取决于双射的精确细节。我们不需要知道 D 中实际出现了哪些元素。我们需要知道的是，双射（我们假设它存在）完全决定了

D 的内容。

转到证明的第 4 步。这里我们注意到集合 D 本身必须是 S 的子集。因此 D 也出现在 S 的幂集中。这就是为什么我在图表的右侧画了 D。

因此，双射也将 D 与集合 S 中的元素配对，在 LHS 上。所以我在 D 和 S 中的某个元素之间建立了联系，我将其标记为小 d。

因此元素小 d 与 RHS 上的大 D 配对。所有这些结论都源于假设双射存在。

现在我们到了关键时刻。我们问一个简单的问题：小 d 是不是大 D 的元素？我们需要考虑两种情况。

让我们考虑第一种情况，小 d 是大 D 的一个元素。好吧，我们说大 D 中的任何元素，根据定义，都不会与包含它的集合配对。因此，假设小 d 在大 D 中意味着它不在大 D 中。这是一个矛盾。

让我们考虑第二种情况，小 d 不在大 D 中。如果它不在大 D 中，它必须与包含它的集合配对。因此，假设小 d 不在大 D 中意味着它在大 D 中。这又是一个矛盾。

换句话说，假设双射存在必然会导致矛盾。

所以我们最初的假设是错误的。这些集合之间不存在双射。因此，S 和它的幂集大小不同。

事实上，正如证明的第 5 步所示，幂集总是更大。我们无需计算就证明了这一点。

如果您按照这些步骤，并结合您面前的讲义，您将会理解康托论证的逻辑力量。

更高的无穷大

康托的证明有很多推论。这里我们只讨论推论 1。

整数集当然是无限的。它代表计数数字的无限性。现在想象一下构造整数集的幂集。这是一个有趣的脑力练习。你马上就会意识到，这个幂集必须包含无限数量的子集，而这些子集本身的大小也是无限的。

现在，根据康托的证明，我们知道幂集总是大于生成它的集合。因此，整数幂集的大小是无穷大，大于计数数字的无穷大。

因此我们发现了第一个更高的无穷大。

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（同人小说网http://tongren.me），接着再看更方便。