唯物主义和康托尔思想（一） (5-5)

这正是数学家布劳威尔在 20 世纪初所采取的路线，当时他创立了一个新的数学流派，即后来被称为建构主义的数学流派。

建构主义认为，只有当我们能够指定如何构造一个数学对象时，该数学对象才存在。如果我们可以编写一个计算机程序来生成该数学对象作为输出，我们就可以构造一个数学对象。相比之下，古典数学认为，如果我们可以证明假设某个对象不存在会导致矛盾，那么该对象就存在。

关键的区别在于，建构主义拒绝了一条逻辑规则，即排中律。排中律指出，命题 P 必须为真或假。当然，这似乎是一个合理的规则。

例如，如果P是命题“某个对象不存在”，那么根据排中律，如果我们能够证明P导致矛盾，那么我们就有理由主张该对象实际上存在。

康托的证明依赖于排中律。他认为，如果我们假设不存在一个大小为高无穷的幂集，那么我们就会得出一个矛盾。但康托从来没有真正构造过一个大小为高无穷的集合。

因此，建构主义者拒绝了康托的证明。他们指出，命题 P 除了既可真又可假之外，实际上还可能是不可判定的。一个简单的例子就是众所周知的说谎者悖论。

他们还摒弃了古典数学分析的许多其他部分。例如，他们提出了一种新的实数定义，避免了实际无穷大。相反，他们使用可计算实数，即可以通过保证在有限时间内终止的算法以任意精度计算的实数。

这些可计算实数原来是传统实数的一个子集。可计算实数的无限集的大小与整数的大小相同。因此这里没有空间容纳更高的无穷大。

建构主义似乎是数学本身内部的一个非常强大的基础，从中可以拒绝更高无穷大的概念。但在将我们的旗帜插到建构主义领域之前，我们需要进一步尖锐化矛盾。特别是，我们需要认识到我们已经使用无法构造的对象进行计算。

“不可观察”的数学对象

尽管我们无法知道大多数实数的实际大小，但这并不意味着我们所有的计算都是近似的。例如，假设我们想知道两个圆的面积比，一个圆的半径为 4 厘米，另一个圆的半径为 2 厘米。我们知道圆的面积是圆周率乘以其半径的平方。所以我们可以推断出一个圆的面积恰好是另一个圆面积的 4 倍。

在这个计算过程中，无理数 π 被抵消了。我们主要认为这是理所当然的，因为我们经常这样做。但实际上，我们暂时访问了一个理论领域，这个领域充满了奇异的事物，在这个例子中是一个无理数，然后我们回到了一个更熟悉的领域，手里拿着一个普通的答案。

我们怎样才能在不知道圆周率大小的情况下应用有关圆的尺寸理论呢？我们可以这样做，因为圆周率不仅仅是一个数值。

当我们观察现代计算机代数系统（例如 Mathematica）时，这一点尤为明显。Mathematica 使用符号而不是量级进行计算。符号计算可避免在应用数学定理时过早近似。从某种意义上说，符号计算复制了数学家所做的工作。它将无理数（例如 pi、e 或 2 的平方根）视为庞大的数学理论网络中的理论术语。

在物理理论中，例如粒子物理学，我们也会发现一些术语，它们指的是难以观察或无法接近的物体。我们通常采取现实主义立场，并假设这些术语指的是独立于我们而存在的实际事物，尽管这些术语并不完美。

数学柏拉图主义者对数学对象持类似态度。对于柏拉图主义者来说，实数是抽象对象，只是恰好具有一些在有限时间内无法完全观察到的属性。

但抽象物体在什么意义上是真实的呢？它们肯定只是心理构造吗？

在这一点上，我认为我们可以明确地说不。严谨的唯物主义并不排除抽象物体独立于思想的存在。事实上，每天都有数百万工人在操作抽象物体。矩阵对软件工程师来说就像砖块对砌砖工一样真实。

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（同人小说网http://tongren.me），接着再看更方便。