唯物主义和康托尔思想（一） (5-2)

集合论将这种将两个集合配对而不剩下任何东西的想法形式化为两个集合之间的双射函数。如果我们可以定义集合 A 和 B 之间的双射，那么我们说它们的大小相等。

让我们回到我们的例子，我们试图将偶数的大小与所有数字的大小进行比较。事实证明，我们可以将每个整数与偶数配对。将数字 n 与 2 乘以 n 的数字配对的双射可以完成这项工作。例如，它将 1 与 2 配对，2 与 4 配对，3 与 6 配对等等。我们选择的任何数字都会唯一配对。这意味着整数的大小与偶数的大小相同。所以我们最初的直觉是完全错误的。偶数集并不小于所有数字的集合。

这表明我们关于无限集的直觉很容易混淆。

现在，我们已经掌握了解决康托定理所需的所有概念。我们理解了集合及其幂集。我们还理解了如何比较集合的大小，即使我们无法计算单个元素。

康托定理

康托的主要结果是幂集总是大于它所生成的集合。

在讨论无限集之前，我们先来思考一下有限集。在这种情况下，康托定理显然是正确的。

FINITE CASE

A SET WTH 3 ELEMENTS

───────────

S

4 ITSPowéR Sé

P(s)

a b c

{} {ↅ} {b} {c} {ↅ₁b} {ↅ₁b} {b₁c} {ↅ₁b₁c}

You CAU'T PAIR THAM UP. Arys SoMK HfT SwhR1 6.ↅ.

∴ S ANp P(s) AK NDT ntE SmME fiZE ！

Figure 1：A finite set S and its power-set P(S). If you can't pair-up elefits of sets ，with nothing left over. then they cannot be the same size.

左边是包含 3 个元素的集合。右边是它的幂集，包含 8 个元素。通过简单的计算，我们知道幂集一定更大。幂集一定更大，因为它是由原始集合的所有可能组合构成的。

有限集的情况可能已经让你相信幂集一定总是更大。但关键问题是我们的直觉是否能推广到无限集。这正是康托尔想要解决的问题。

/NFINTE CASE

A SG WιτH ∞ EEMEAT5

1T5 PouEk SEr

WE DEFINNE “D”

s To CoNTMN Au EsMbsTs P(s)

X OF S THAM MM TO SETT lN PCS) DhhT 0- NOT CONnéW x.

X υ NOT IN {＜，63 ∴x ls lN D.

e.ↅ. x d. .{a.b} .D

dE D

If S AND PUS)

ARt shME sne THiN

DMUET BE PAIRAO-UPUIIN

A d INS.

TWO CArES

(a)d ← 0 msANs d IS NoT PAIREO WITH A SET THAS COMMINS IT.

∴d ∉ D. CoNTRAPICDON!

(h) d ∉ D M6-KS d ＿IS PAIRED WIN A FEG THAT ONMINS IT.

∴d∈D. CONTRAPICTON!

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