柏拉图的数学与哲学（一） (5-5)

既然理念数与数学数的生成不同,那么它们的计数法也不同:“数学数是这样计数的:1,2(由1与前一个1组成),3(由两个1和1组成),其余类似。而理念数是这样计数的:1,接着是不同的2(不包含第一个1),3(不包含2),其余类似”(〔11〕,1080a30—34)。

正因为数学数与理念数存在着这些区别,特别是理念数是事物的原因,而数学数不是,这就决定数学数低于理念数。另一方面,感觉数是与事物的质相联系的,它的抽象程度自然比脱离事物的质的抽象的数学数低。所以,数学数必然处于中间体的地位。

数学对象的存在方式

在这个问题上,柏拉图把他在理念论中的分离说应用到数学对象上,认为数学对象分离独立存在于可感事物之外。

亚里士多德认为,数学对象不可能分离独立存在于可感事物之外,并从七个方面作了反驳。这里只选取其中的四个来说明亚里士多德是怎样进行反驳和论证的。

第一个论证以柏拉图关于理念的在先性、分离性和要素的非组合性为前提,推论出:如果在可感的立体之外存在一个先于并且与可感事物相分离的另一种立体,那末根据同样的道理,在可感的面、线、点之外,也应该独立存在着在先的面、线、点。也就是说,在可感的体、面、线、点之外还存在一组数学对象的体、面、线、点。根据组合物是由在先的、独立存在的要素组成的,以及面是由线组成的,线是由点组成的,就可以推出:存在两套体、三套面、四套线、五套点。那末数学家究竟研究其中那一套呢?(〔4〕,1076b13—40)

第二个论证说,如果几何学的对象脱离可感事物而独立存在,那么作为数学的一部分的天文学,其对象也将脱离可感事物而独立存在,可是,天空及其各个部分怎么可能脱离可见的天空及其各部分而独立存在呢?同样,光学和声学的对象也将独立自存,否则,为什么有的对象能与可感对象相分离,有的就不能呢?(〔4〕,1077a1—9)

第三个论证是,柏拉图认为,数学对象是处于理念和可感事物的中间体。根据这种观点,我们可以从理念与中间体之间再分离出另一类中间体,它既不是数也不是点,既不是空间量也不是时间。如果这是不可能的,那末数学对象也不可能与可感事物相分离而独立存在。(〔4〕,1077a9—14)

第七个论证是,立体是一种本体,因为它在某种意义上已经具有完整性了。但是,线怎么能够成为本体呢?它既不是象灵魂那样作为一种形式,也不是象立体那样作为一种质料。因为我们没有关于把点、线、面放在一起的经验,如果它们也是一种物质实体,我们就应该看到把它们放在一起所组成的东西(〔11〕,1077a31—36)。他说:“假定点、线、面的定义在先,但并不是所有定义上在先的东西在本体上也在先。因为本体上在先的东西,当它与其他事物分离时,更具有独立存在的能力,而事物在定义上先于那些其定义是由事物的定义合成的事物;因此,这两种属性不是共同扩张的。因为如果属性不是脱离其本体而独立自存的(例如,`运动的’或`苍白的’),那末`苍白的’在定义上就先于苍白的人,而在本体上却不是在先的。因为它不可能分离独立存在,而总是跟随着具体事物,我所说的具体事物是指苍白的人。因此很清楚,抽象的结果并不是在先的,由于加上一些决定性因素而产生的那些东西,也不是在后的,因为我们所说的苍白的人,正是由于把一个决定性因素加给`苍白的’”(〔11〕1077b1—11)。

亚里士多德通过七个方面的论证得出结论:“数学对象并不是比物体更高级的本体,它们在本性上并不先于可感事物,而只是定义上在先;它们不可能独立存在于某个地方”(〔11〕1077b11—14)。从而否定了柏拉图关于数学对象独立存在于可感事物之外的观点。

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