柏拉图的数学与哲学（一） (5-4)

柏拉图在《国家篇》讲到算术的作用时谈到“纯数”和“可见物体的数”。他说:算术“用力将灵魂向上拉,并迫使灵魂讨论纯数本身;如果有人要它讨论属于可见物体或可触物体的数,它是永远不会苟同的”(〔1〕,525D)。他在《PHILEBUS》中讲到两类算术的区别时又说到计数的不同单位和相同单位。他说:“有些算术家计数不同的单位,例如,两支军队、两头牛、两件很大的东西或两件很小的东西。反对他们的一伙人坚决认为,在一万以内的每一个单位都必须与其他单位相同”(〔10〕,56)。这里的“可见物体的数”和“计数不同的单位”在数学中叫做名数,而亚里士多德把它叫做感觉的数;而“纯数”和“每一个单位都必须与其他单位相同”的数是指抽象的数学数。这说明柏拉图认为存在着两种数,即数学的数和可感觉的数。至于第三种数即理念数,那是他在后期把理念论与毕达哥拉斯学派的“万物皆数”相结合的产物。他的学生亚里士多德在《形而上学》中就说到他认为存在着另一类数——理念数。亚里士多德说:“抽象的众数与物质世界的众数是相同的数,抑或不相同的两类数呢?柏拉图说这是不相同的;可是他也认为数可以作事物之量度,也可以成事物之原因,其分别恰是这样,事物本身的数是感觉数,为之原因之数则是理知数”(〔4〕,990a29—34)。这里讲的“理知数”是抽象的、可作事物之量度,又是事物之原因。就其抽象性和作为事物之量度而言,它类似于数学数,就其“成事物之原因”而言,它又区别于数学数。所以它只能是一种新的数——理念数。亚里士多德还在《形而上学》(1080a17—37)一书中,按数的单位的可结合性把数分成三类：

1.每一个数的单位无例外地都不能结合；

2.各个数的单位彼此都能互相结合，如数学数；

3.有些单位可结合，有些单位不能结合。

并说“有些人(指柏拉图)说两类数都存在,其中先后各数为品种有别者等同于理念,数学数既不同于理念又不同于可感事物,但这两类数与可感事物相分离”(〔4〕,1080b10—14)。“那些最初断定数有理念和数学两类的人既没有说也不能说数学之数怎样存在和由什么组成。他们把数学数安置在理念数与可感觉数之间”(〔4〕,1090b33—35)。亚里士多德在这里不仅直接讲到理念数,而且指出它的特点是,不同的理念数在性质上是不同的,其单位是不能互相结合的,但它们都与可感事物相分离。

以上说明,柏拉图确实认为存在着三种数:感觉数、数学数和理念数,而且数学数是处于中间位置的。关于数学数的居间性,除了在“线喻”中作了说明以外,这里还就数学数与理念数在生成和成为事物的原因方面的不同,作进一步说明。柏拉图在《巴门尼得斯篇》中详细地讲到数学数的生成过程：

1.从“如若一是”推出`一’必然分有`是’。

2.从“一”分有“是”引绎出“异”。因为“一”分有“是”说明“一”所分有的“是”与“一”自身是各异的。所以就产生“一”、“是”、“异”不同的三者。

3.由一、是、异三者引绎出数:(1)从一、是、异中任选一个就产生1;(2)从一、是、异中任选一对就产生2;(3)由2加1就产生3;

由于2是偶数,3是奇数,所以不仅有了奇数与偶数,而且也有了奇倍与偶倍。这样,就可通过偶倍偶数、偶倍奇数、奇倍偶数、奇倍奇数产生一切数了。所以柏拉图说:“如若一是,必然地有数”(〔2〕,143C—144A)。当然这其中还必须补充一加法才能真正产生所有的正整数(〔2〕,注249)。

柏拉图的理念数论首先肯定理念是数,是事物的原因,然后指出理念数的生成原则(〔4〕,1081a14—17):一和不定的二(dyad)。

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