柏拉图的数学与哲学（二） (3-1)

理念数论及物质元素的几何结构

柏拉图的理念论在学园内部引起争论,他自己也意识到其中的“分有说”遇到困难。所以他在晚年一方面在《巴门尼德篇》和《智者篇》中提出“通种论”,即最普遍的种有三对:存在与非存在、动与静、同与异,它们既互相区别又互相联系;它们可以互相连接而成为集体,连接越多内容越丰富,于是,`种”的集体就成为个别事物。这样,他就避免了`分有说’带来的困难。另一方面,他在“线喻”中讲到数学在认识论中具有阶梯的作用后,在《Philebus》中又明确地讲到两种算术和两种几何。他把研究“两支军队、两头牛、两件很大的东西或两件很小的东西”这类不同计数单位的算术叫做普通算术(Popular arithmetic),而把研究数的各个单位都可以互相结合的抽象数的学问,叫做哲理算术(Philosophical arithmetic)。类似地,他把研究建筑学中的测量这类生产性技艺叫做普通几何学(Popular geometry),把抽象地研究图形的几何关系的学问叫做哲理几何学(Philosophical geometry)(〔10〕,55,56)。哲理数学的提出,说明柏拉图认为数学还具有哲理性的一面,更倾向于把数学在认识中的阶梯地位提升到理性的阶段。这就为他提出理念数论奠定了思想基础。同时,他又把毕达哥拉斯学派的`数本说’(数为万物之本原)与理念论结合起来,提出一种不成文的学说——理念数论。它其所以称为不成文的学说是,因为它只是在学园内部讲课时提出的,既未正式发表也不成体系,我们只能在亚里士多德的批判中略知梗概。

理念数论的基本思想是:1、理念是数;2、理念数的生成原则是,一和`不定的二’(indefinitedyad);3、理念数的实在性比数学数高一等级,因为“他们把数学数安置在理念数与可感觉数之间”(〔4〕,1090b35—36);4、理念数与数学数的区别,在单位的可结合性上,数学数的单位无例外地彼此可以互相结合;而理念数中不同数的单位是不能结合的,如`本2’的单位不能与`本3’的单位结合,其余的理念数也如此。在计数方面,也有区别(〔11〕,1080a24—35)。

尽管理念数论因为遇到许多麻烦,而成为一种不成文的理论。但是,在柏拉图看来,既然数等同于理念,成为万物的本原,作为数学的一部分的几何学,其研究的对象——点线面体也应该成为万物的本原,所以,他在《蒂迈欧篇》用它们来构造物质元素的几何结构。

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