数学是真理吗？柏拉图主义的困境（二） (6-5)

，其中a和b是两个自然数且a和b没有公约数（否则这个分数就可以继续简化直至最简）。那么 α²＝2b² ，所以 α² 是个偶数，因此a也必定为偶数（因为奇数的平方不可能是偶数）。我们把a记做 α＝2c ，所以 α²＝4c²，进而 b²＝2c² ，也就是b也是个偶数。这与a和b之间不存在公约数相矛盾。因而不存在a和b两个自然数。所以√2必为无理数。

无理数的存在成为古希腊数学中的一根喉中之刺。它不但在几何中无法避免，在算术中更加随处可见 – 如二次方程等等。既然无理数在几何中难免存在，人们试图以此找出无理数的存在依据，并且用几何的方法来对付算术方程，这就是时至今日，我们仍然把二次方称作“平方”（意即面积）、把三次方称作“立方”（意即体积）的原因。但是这种试图以几何涵盖所有算术的方法不但不切现实，而且并不能让人们明白那些无理数本身究竟意味着什么。欧几里得几何以后，代数渐渐开始于几何分道扬镳。随后古希腊数学家丢番图对代数做出了大量的研究，遗憾的是在后世的战乱中，他的著作绝大多数丢失了。随后，正如前面所说，古希腊文明灭亡，古希腊数学散入印度、巴比伦，而这些文明对数学基础并没有太多的兴趣，而是更多集中在应用方面，因此他们的数学中就掺杂了大量的经验、不完全归纳、以及很随意的推广，显得十分不严谨。有史学家曾经称印度的数学是“粪土和珍珠的混合物”。

这段时间印度人和阿拉伯人大量使用无理数而对它的逻辑基础毫不在意。它们用各种近似的手段来处理无理数，而丝毫不担心这会影响确定的数学真理。有趣的是，在这种不严谨氛围中，代数学却像是抛下了“基础问题”这个令人无奈的包袱，得以轻装前进，野蛮生长。人们对根式、无理数等发展了正确的运算法则，诸如√a√b=√ab等等，这些成果斐然，但是得到它们的过程却是毫无意义的随意推广而已。在一些高次方程上，他们给出了很准确的图形解法，但是却既没有几何证明，也没有代数推导。印度人不但毫无负担地使用无理数，而且还发展了现代通用的阿拉伯数字十进制计法，并且提出了作为数字的零和负数的概念及运算法则[6]。最重要的是，在这个阶段，代数学彻底地成为独立学科，与几何并列发展。

欧洲数学家在文艺复兴之后继承了这些数学的发展，他们惊奇地发现，在繁荣的代数背后，是贫瘠的逻辑基础。有别于几何的坚实的公理基础，算术的诸多定义、法则却似乎找不到一个类似的公理体系来成为可靠的支撑。欧几里得几何里面“单位长度可以累次加和”、“一个整体可以分割成多个部分”这种符合直觉的自然数和有理数定义在无理数中崩塌了。如果说仅仅是像√2这种无理数我们还可以找到几何依据，高次方根、指数、对数等等无理数则完全在迷雾当中。以至于一直到17世纪，在数学界仍然存在着大量的反对无理数的声音。

这在一个初中低年级学生就熟知的实数系统的现代，看起来十分难以理解。但是，当你们在学习实数系统的时候，被老师灌输“无理数其实并非无理”的观念时，你们是否真的想过无理数到底有何含义？无限不循环吗？前面我们已经提到过，无限的含义十分微妙。如果按照数学家们一致认可的潜无穷，那么，所谓的“无限”不循环小数，指的是一串任意长的小数数字序列。对这个序列我们总是可以再向后数一位，使得它与那个无理数更加接近 – 一个任意长的不循环小数可以任意地接近一个无理数，但它不是那个无理数。在潜无穷的观念中，以所谓的“无限不循环”的方式构造无理数是永远不可能完成的。再比如说一根直尺，我们可以不断地把它细细分割，持续下去，直尺上任意一点，从直觉上看，难道不是总有一天会切割到吗？因为两个分割点之间的点，我们也任意细分的啊。那么，无理数又从何而来？事实上，直至近100多年前，人们才真正发现，直尺上的大多数点，并非可以用这种任意细分的方法切割到，而这，绝非一目了然。

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