数学是真理吗？柏拉图主义的困境（二） (6-4)

这种“绕弯子表示”的无穷，叫做“潜无穷”，潜无穷所暗示的，是一种不可能完成的无穷：不管你想象出任何一个数，我总可以比你的这个数还要小（或大）。这个说法其实最早起源于亚里士多德，它把我们的有限智慧与外部无穷之间架起了一座桥梁，因而受到大家的无限青睐。比如说一个自然数，无论它有多大，我总是可以把它再加上1，得到一个更大的自然数。而“总可以再大”就意味着它不可能终结，也就是不可能存在一个已经完成的“无穷大”。再比如一个很小的数字，0.00……1，我总可以在这些个0当中再添加一个0，从而做到更小。但是你不能说“无穷多个0之后跟着一个1”这样的“真的”无穷小，因为这就是在说这个“无穷多个0”后面有一个作为终结的1，而有终结就不可能是无穷多。而相对的，如果人们真的直接讨论无穷（比如说，把所有的自然数当做一个已经完成的集合，或一条直线上所有的点当做一个已经完成的集合），人们把它叫做“实无穷”。在当时看来，我们可以以潜无穷的方式来研究任意外延的事物：它是实在的、有限的、可以言说的，但是又可以囊括我们所能想到的任意事物。但是实无穷存在吗？它难以理喻，不可言说。难道我们人类有限的智慧真的可以把握无限吗？陷入到实无穷的泥潭中去，我们真的就能把握它？对此神学家们宣称一个已完成的无限只能是上帝的特性，而对人类来说只能是个秘密。莱布尼兹是一个少见的赞成实无穷的人，他说：

“I am so in favor of the actual infinite that instead of admitting that nature abhors it, as commonly said, I hold that nature makes frequent use of it everywhere, in order to show more effectively the perfections of its author”（我是如此赞成实无穷，乃至于我不像一般人那样认为自然厌恶无穷，而是认为自然无所不在地使用它，更加有效地展示着造物主的完美。）

而相反地，绝大多数数学家反对实无穷，例如高斯说：

“Infinity is only a figure of speech, meaning a limit to which certain ratios may approach as closely as desired, when others are permitted to increase indefinitely.”（无限只是一种言说方式罢了，它实际指的是我们可以随心所欲地靠近一个极限，而同时其他人亦可以更加靠近它。）

微积分找到了一个合理的基础，但是却带来了新的困扰，就是无穷的问题。这里我们先按下不表，再来说一说另外几件事。首先，就是“数”本身的问题。

应该说，在古希腊数学中，几何占据着基础的位置，而算术，则是几何衍生出来的概念。在古希腊人看来，自然数是作为几何中的长度单位存在的：它们是度量事物的一把“尺子”。而整个算术理论也就是建立在欧氏几何的公理系统之上的。这就是自然数存在的逻辑基础和现实基础。在欧几里得的《几何原本》中，提到，我们可以把诸多存在的事物中的每一个称作一个一，而作为整体的一个数也可以是由多个单元构成。这样就自然而然地衍生出有理数的概念：有理数就是那些可以看做两个整数之比的数字。在这个体系中并没有无理数的存在余地。但是，我们前面提到毕达哥拉斯学派发现√2的存在并且证明它无法被表达成两个自然数之比 – 也就是无理数。这个证明有很多种方法，其中之一是用反证法。

α

假设 √2＝─

b

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