数学是真理吗？柏拉图主义的困境（二） (6-3)

就拿我们前面所说的那个微分的例子来说吧。我们随便找出一个不为零时间段(t,△t)，在这个时间段中，平均速度与“瞬时速度”10t之间的误差就是5△t。比如说，现在我们要求我们的计算结果误差必须小于0.1，那么很简单，我们只要选取时间段△t就小于0.02就好了。如果我们要求误差小于0.01，那我们选取时间段△t小于0.002就好了。如果我们要求误差小于0.00000……1，不论这个数字有多小，我们总可以找到一个对应的△t，来使得误差达到这个要求。也就是说，现在存在着这样一个极限 – 10t，不论我们要求某时间段内的平均速度与它之间的误差有多小，我们总是可以找到△t 来满足这个要求：存在着一个极限使得我们可以“任意地”靠近它。

我们再来举一个例子，比如说现在有这样一个无限多个数字的加和：

1 1 1 1

S＝─＋─＋─＋─ →↓

2 4 8 16

∞ 1

＋. . .＝∑ ─ ←

ₙ₌₁ 2ⁿ

这个加和是多少呢？我们可以用一个几何的方式来形象地说明它。我们把每一个数字看作是一个边长为1的正方形面积的一部分，那么这个加和就等于是先用半个正方形填充它，然后再用剩下的部分的一半继续来填充，如此类推，我们会发现随着我们不断地向上累加，这个正方形就会不断地被填充，而剩下没被填充的部分就越来越少 – 我们一直填充下去，被填充的部分就会一直逼近整个正方形。也就是说，这个加和随着我们的不断进行，就越来越接近于1。虽然我们无法谈论“无限加和”，但是我们可以谈论“任意加和” – 随便N个数字的加和，不论N有多大。

那么，我们说，任意多个数字的加和与1之间的偏差有多少？任意小。因为不论我们说出一个多小的数字δ，我们总是可以找到一个N，使得N个数字相加的和与1的偏差小于它 - 这个加和与1之间的偏差可以任意小，0.000……1，你可以在这个小数中随便添加0，都没有问题。也就是说这个加和可以“任意地”接近1。这个1就叫做极限。这样一来，我们就避免了模糊地使用“无限大”或“无限小”所带来的的逻辑上的尴尬。

这里我们发现，其实这个问题的解决是在人们绕开了“无穷”这个令人困惑的问题之后达成的。人们谈论“无论多小的数字”或者“无论多大的数字”，直觉上和谈论无限并没有什么区别，但是逻辑上却是完全不同：因为无论多小的数字总是一个有限的数字，我可以用数字的运算法则来进行操作而不会引起疑虑。对于关于“瞬时速度”的疑虑，这种方法就理直气壮，“说吧，你既然觉得瞬时速度不等于10t，那么它与10t的偏差有多少？你随便说一个数字，不管这个数字有多么的小，这个偏差总是小于你说的这个数字！”

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