数学是真理吗？柏拉图主义的困境（二） (6-2)

这个过程就是“微分”过程。它看上去很自然，也很符合直觉，但是，从逻辑上讲是很不严谨的。这里集中的矛盾在于，作为“无穷小”的时间间隔Δt是什么？它是一个数字吗？如果是，那么它要么为零要么不为零。如果它是0，我们就不能在计算过程中分式上下约掉Δt，并且0做分母是没有意义的；如果它不是零，我们为何可以把它当做零舍去呢？舍去它必然会造成误差，也就是说瞬时速度就不可能是我们计算的结果10t。那么，我们可以说它不是一个数字吗？莱布尼兹曾经说过，无穷小不是一个真实的数，而是一个假想数。既然它不是真实的数字，我们又有何依据用数字的运算法则对它加以运算呢？对此伯努利说，

“与其说是一个解释，不如说是一个谜”

更加不严谨的事情发生在微分的逆运算，“积分”过程中。所谓积分，就是我们知道每一个时刻的瞬时速度，如何去求一段时间内它的行走距离。这个过程与上面的思路类似，只不过是反过来了。我们现在知道我们把这段时间分割成若干段，例如（t0,t1,t2,……t）。总的行程就是每个时间段内行程的加和，而每个时间段的行程就是这段时间的平均速度与这段时间的乘积。显然，随着我们把这段时间分得越来越细，每个时间段的间隔也就越来越小，这个时间段内的平均速度就越来越接近于瞬时速度。当我们把这个分割变成“无限细”，那么我们就得到了“无穷多”个“无穷小”的时间段，每个时间段的平均速度就是瞬时速度。最后，我们把这无穷多个时间段内物体的行程加起来，得到的就是总行程。这就是积分过程。

这里同样有着困惑，积分过程要求我们计算无穷多个元素的加和。这中间同样陷阱重重，我在此无意展开细说，随着你后续的学习会逐渐接触到。在当时人们并没有意识到“收敛性”的重要，因而出现了很多非常荒谬的结果和错误的证明。此外，在函数的可微性、连续性、光滑性等方面更加错误重重。从现代的眼光看，当时的数学大师犯这样的错误简直不可思议。

微积分显然是成功的，它在自然科学中的应用极其广泛，因而它在一两百年间快速地成长着，并且成为自然科学的支柱，仿佛它的逻辑性和可靠性毫无问题一样。这段时间，在克莱因的《数学：确定性的丧失》中，被称为“一门逻辑学科不合逻辑地发展”。科学家们并不关注这些数学工具的严密性，在他们看来，有用而且好用，这就足够了。然而数学家们却一直没有放弃对数学严密性的追求。伴随着科学家们兴高采烈地在各个领域自由地使用微积分及其衍生的数学工具，甚至于不加限制地随意使用“无穷大”和“无穷小”这样的模糊概念 – 从而导致了很多他们完全意识不到的错误，数学家们的忧虑却在与日俱增：数学仅仅满足于有用就可以了吗？数学的牢固基础在哪里？我们确定无疑的数学真理在哪里？在困扰了数学家们200多年后，人们终于发现了一种方法，让微积分的逻辑基础变得可以接受了。

这种方法说，“无穷”其实不是真的无穷，因为我们有限的世界不可能包括“无穷”这样的东西。所谓的“无穷小”其实是“任意小”。也就是说，我们随便找出任何一个确定的数字 – 这个数字是有限的，但是不论这个数字如何小，“无穷小量”总可以比它还小。

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