数学是真理吗？柏拉图主义的困境（二） (6-1)

有讽刺意味的是，对教会教义的最大反叛 – 哥白尼的日心说，却是这种柏拉图信念的直接结果。托勒密的地心说，其实也是源自古希腊的传承，地心说的核心观点，在古希腊时代天文学中就已经非常齐备了 – 前面我们提到，天文学是古希腊数学的一个重要学科，在希腊-罗马时代的托勒密手中大成。在托勒密体系中，地球为宇宙中心，所有的星球都围绕地球旋转，而这种旋转包括了本轮绕均轮旋转、以及星球绕本轮旋转。如此多圆嵌套。

↷ ↷

本轮

均轮

而日心说提出的最初动机，就是因为它的数学形式得到了极大的简化[5]，因而更加美妙、更加接近上帝的语言、那个数学真理。

其中提及，日心说直接引发了第一次科学革命。随之而来的开普勒和牛顿的工作，更是把天文学简化成为一个简简单单的方程，万有引力定律：

Mm

F＝G ──

R²

数学之美又一次地得到了淋漓尽致的体现。

在这个过程中，数学经历了它的又一次重大事件：科学的数学化。伽利略是最早推进这个进程的科学家之一。与柏拉图主义不同，伽利略坚定地认为自然奥秘是我们从自然这本书中读出来的，而不是来源于人的思想或“理念世界”。而把数学用来描述自然运动，却另一方面坚定了人们对数学真理的信念。

在轰轰烈烈地把数学应用于自然科学的过程中，数学的可能是最重要的分支之一的微积分诞生了。微积分获得了巨大的成功，一方面它极大地简化和统一了物理理论的数学形式，使人们进一步发现数学之美，另一方面却带来了诸多逻辑漏洞，甚至一度使人怀疑数学基础是否牢靠。

微积分最初提出的一个动机就是求解“瞬时速度”。我们知道，速度指的是物体运动的快慢，也就是说，在单位时间内移动的距离多少。这个在你们小学数学中就已经非常熟悉了。对于一个匀速运动的物体，我们只需要知道它在一定的时间内移动了多远，把距离除以时间就可以知道它的速度。但是在一个速度不断变化的情况下，我们如何确定在某一时刻它的速度？首先，它在运动，运动当然就有快慢，就有速度，但是它在某一瞬间（时间为零）移动的距离显然为零，那么0除以0又是什么意思？早期的微积分中是这样处理的，比如说对一个自由落体的物体，它从零时刻开始下落，那么它下落的距离随着时间的变化有这样的关系：

L＝5t²

其中L是下落距离，t是下落时间。从这个关系我们可以看到， 1秒钟时间内，它下落的距离是5米，2秒钟则是20米，以此类推。那么我们现在看在某个t时刻开始，到t+ △t时刻这个总长△t的时间内下落了多少，显然，

ΔL＝5(t＋Δt)² – t²＝10tΔt＋5Δt²

那么，在这段时间内的平均速度就是：

ΔL 10tΔt＋5Δt²

ˉυ＝──＝────＝10t＋5Δt

Δt Δt

请注意上式的最后一步是在分式的上下约掉了Δt。

直观上说，Δt越小，也就是说，我们取的时间间隔越短，它的平均速度就越接近于t时刻的瞬时速度。如果这个时间间隔是“无穷小”，那么这个平均速度就是t时刻的瞬时速度。此时，上式中的第二项，5Δt就是无穷小，我们可以认为5Δt=0。也就是说：

υ＝10t

如此一来，我们就得到了时刻t的瞬时速度。

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