【泛函分析】共鸣定理 (2-2)

定理2：设{Tₙ} (n＝1，2，3，· · ·) 是由巴拿赫空间 E 到巴拿赫空间 E₁ 中的有界线性算子列，则{Tₙ}按强算子拓扑收敛于某一算子 T∈B(E，E₁) 的充分必要条件：

（i）{Tₙ} (n＝1，2，3，· · ·)一致有界；

（ii）存在E 的某个稠密子集 G ，使得对一切的 x∈G , {Tₙx} 在 E₁ 中收敛。

当（i）,（ii）满足时，{Tₙ}的极限算子 T 的范数满足：

||T|| ≤ lim inf||Tₙ||.

n→∞

证明：

必要性：设{Tₙ}按强算子拓扑收敛于某一算子 T 则对每个 x∈E ， {Tₙx} 有界，由定理1，我们知道 {Tₙ} 一致有界，故（i）成立，至于（ii），取 G＝E 便知道它也成立。

充分性：因为{Tₙ} 一致有界，故存在 M＞0 ，使得对一切的 n＝1，2，3，· · · ，有 ||Tₙ|| ≤ M .任取x∈E。由于 G 在 E 中稠密，对于任给的 ϵ＞0 ，存在 y∈G ，使得

ϵ

||x – y||＜──.

3M

由条件（ii），{Tₙx} 的在 E₁ 中收敛，故存在 N＞0 ，使得对一切 n＞N 以及任意的自然数 k ，有

ϵ

||Tₙ₊ₖy – Tₙy||＜─ .

3

于是

||Tₙ₊ₖx – Tₙx|| ≤ ||Tₙ₊ₖx – Tₙ₊ₖy||＋||Tₙ₊ₖy – Tₙy||＋||Tₙy – Tₙx||＜ϵ

故{Tₙx} 是 E₁ 中的基本点列。由于 E₁ 完备，故{Tₙx}在 E₁ 中收敛，记

Tx＝lim Tₙx(x∈E)，

n→∞

则T 在 E 上有定义。由于每个 Tₙ 都是由 E 到 E₁ 中的线性算子，故 T 也是由 E 到E₁ 中的线性算子。再根据

||Tx||＝lim ||Tₙx||＝lim inf||Tₙx|| ≤ lim inf↓

n→∞ n→∞ n→∞

→(||Tₙ|| ||x||)＝(lim inf||Tₙ||)||x||

n→∞

可知T 有界，且

||T|| ≤ lim inf||Tₙ||

n→∞

注意该定理证明过程中充分性部分没有用到共鸣定理，故对充分性部分只需假定E 是赋范线性空间。

下面我们回答第三个问题：

定理3：设 E，E₁ 都是巴拿赫空间，则 B(E，E₁) 关于算子列按强拓扑收敛是完备的。

证明：设 {Tₙ} ₙ∈ℕ ⊂ B(E，E₁) 是有界线性算子列，且设对每个 x∈E ， {Tₙx} 是 E₁ 中的基本点列，于是{Tₙx}有界。由共鸣定理可知 {Tₙ} 一致有界。另一方面，由于 E₁ 完备，故 {Tₙx} 在E₁中收敛，故根据定理2， {Tₙ} 按强算子拓扑收敛于某个有界线性算子 T∈B(E，E₁).

注意：1范数的定义，下标应该是A1

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