【泛函分析】共鸣定理 (2-1)

定理1：（共鸣定理）设 {Tα} (α∈A) 是定义在巴拿赫空间 E 上而值域包含在赋范线性空间 E₁ 中的线性算子族，如果对每个 x∈E ，有

sup{||Tαx||}＜∞，

α∈A

则{||Tαx||} (α∈A) 有界，或者说 {Tα} (α∈A) 一致有界。

这个结论是十分惊人的，比如{1，2，3，· · ·，n，· · ·} 中每个数是有限的，但是整个集合是无界集合，这样的例子十分常见，但是共鸣定理却一反常态，出人意料。

下面我们来看它的证明：

证明：任取一个指标 γ ∉ A ，令 A₁＝A∪{γ} ，规定 Tᵧ＝l 。在巴拿赫空间 E 上再定义一个范数：

||x||₁＝sup||Tαx||＝max(||x||，sup||Tαx||)，x∈E，α∈A α∈A

由于||Tᵧx||＝||x|| ，所以 ||x||₁ ≥ ||x||，又根据 sup {||Tαx||}＜∞，

α∈A

我们有 ||x||₁＜∞， || · || 显然满足 ||αx||₁＝|α| ||x||₁ 以及 ||x||₁ ≥ 0 ， ||x||₁＝0 当且仅当 x∈θ 。现在证明它满足三角不等式：

||Tα(x＋y)|| ≤ ||Tαx||＋||Tαy|| ≤ sup ||Tαx||＋sup||Tαy||＝||x||₁＋||y||₁. α∈A₁

α∈A₁

因此

||x＋y||₁＝sup||Tα(x＋y)|| ≤ ||x||₁＋||y||₁.

α∈A₁

现在证明X 按照 || · ||₁ 称为巴拿赫空间，事实上如果 {xₙ} 按 || · ||₁ 是基本点列，由于 || · || ≤ || · ||₁，所以{xₙ} 按 || · || 也是基本点列。因此有 x₀ ，使得 ||xₙ – x₀|| → 0.

现在我们证明{xₙ} 按|| · ||₁收敛于 x₀ ：对任何 ϵ＞0 ，必存在 N ，当 n，m ≥ N 时

ϵ

||xₙ – xₘ||＜─，

2

ϵ

当α∈A₁ 时， ||Tα(xₙ – xₘ)||＜─

2

令 m → ∞ 得到

ϵ

||Tα(xₙ – xₘ)|| ≤ ─.

2

所以当n ≥ N时

ϵ

||xₙ – x₀||₁ ≤ ─＜ϵ

2

根据上次笔记中的推论，存在正数c ，使得 ||x||₁ ≤ c||x|| 对一切 x∈X 成立，也就是说 {||Tα||} (α∈A) 有界，其上界不超过 c 。

共鸣定理告诉我们，若{Tαx} (α∈A) 对每个 x∈E 有界，则与此“共鸣”，可以导出 {Tα} (α∈A) 一致有界，因此共鸣定理又称为一致有界原理（或 巴拿赫-斯坦因豪斯定理）。

作为共鸣定理理论上的应用，我们来研究算子列按强算子拓扑收敛的性质，我们分为三个问题来研究：

第一个问题：按强算子拓扑收敛的算子列是否一致有界？

第二个问题：算子列满足什么条件便按强算子拓扑收敛？

第三个问题：B(E，E₁) 关于算子列按强算子拓扑收敛是否完备？也就是说，若对每个 x∈E ， {Tₙx} 是 E₁ 中的基本点列，是否存在 T∈B(E，E₁) ，使得 {Tₙ} 按强算子拓扑收敛于 T ？

先回答第一个及第二个问题：

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