Sierpinski 维 (4-2)

称C 有离散对象, 如果 U 有全忠实的左伴随 Disc； 称 C 有余离散对象, 如果 U 有全忠实的右伴随 coDisc.

Theorem. 设 C 有终对象 1 且被 U 保持. 如果 U 是纤维化，则 C 有余离散对象.

Proof. 首先考虑一个断言：

Claim. 对任意对象 S ∈ S，S → 1 ∈ S 的 U-cartesian 提升唯一.

Proof of Claim. 拆开 U-cartesian 的定义, 我们得到：如果 X → 1 是 S → 1 的 U-cartesian 提升，那么 X 满足下面的可表性：

C(–，X) ≅ S(U–，S).

由抽象废话，X 唯一. □ᴄₗαᵢₘ

定义：coDisc：S → C 把 S 映到 S → 1 的提升. 根据上面的断言, 我们知道：

C(–，coDisc(S)) ≅ S(U–，S).

即U ⊣ coDisc.

还需证明coDisc 全忠实, 它可以由 cartesian 态射的定义直接得到. □

因此│–│：Loc → Set 不是纤维化.

另一方面：

Theorem. 设 C 有拉回且被 U 保持，且 C 有余离散对象 U ⊣ coDisc，则 U 是纤维化.

Proof. 设有 X ∈ C，f：S → UX ∈S. 我们需要构造 f 的 cartesian 提升.

考虑f：coDisc(S) → coDisc(UX).另一方面，我们有单位 X → coDisc(UX). 考虑这两个态射的拉回 f* (X). 这个拉回方块被 U 保持，但是：

• f：coDisc(S) → coDisc(UX) 被 U 映到 f：S → UX；

• X → coDisc(UX) 被 U 映到 1UX：UX → UX.

所以这个S 中的拉回，无非是 f 和 1UX 的拉回，即 U(f*(X))＝S.

于是我们把f*(X) → X 定义为 f：S → UX 的提升. Cartesian 性质同样容易验证. □

也就是说，如果C 有有限极限且被 U 保持, 则它有余离散对象, 当且仅当它是个纤维化. 对偶地, 如果 C 有有限余极限且被 U 保持，则 C 有离散对象当且仅当它是个反纤维化 (opfibration).

假设C 没有离散或余离散对象, 我们可以构造出一个范畴, 其中的对象是"S 的对象，但带上 C 中的结构", 即逗号范畴 S/U. 这个范畴叫做 C 在 S 上的 Sierpinski 锥, 简称为 scone. 其中的对象形如 (S，X，S → U(X)).

S/U 自带若干函子：

• "点集"函子 U'：S/U → S，U'(S → U(X))＝S.

• "拓扑"函子 i*：S/U → C，i*(S → U(X))＝X.

• i* 有个右伴随 i*：C → S/U，

1U(X)

i*(X)＝(U(X)) → U(Ⅹ))·

容易验证U'◦i* ≅ U，于是我们有这样的图表:

i*

↶

⊥

C → S/U

U ↘ i* ↙ U'

S

SierpinskiCone1

Lemma. U'：S/U → S 是个纤维化.

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