Sierpinski 维 (4-3)

Proof. 对于 (S → U(X)) ∈ S/U，T → S 的提升是 (T → S → U(X)). 容易验证典范的态射 Cartesian. □

这个构造可以理解为 "把(S → U(X)) 上的拓扑沿着 T → S 拉回到 T 上".

直观上，(S → U(X)) 说 S 中的每个点对应于 X 中的某个点.

• 如果 S → U(X) 不是单射, 这意味着 (S → U(X)) 有些以 X 的拓扑无法区分的点；

• 如果 S → U(X) 不是单射, 这意味着 (S → U(X)) 有些空出来的拓扑，能容纳更多的点.

Corollary. 如果 C 有终对象且被 U 保持，则 U' 有个全忠实的右伴随 coDisc'.

Proof. 设 C 的终对象是 1，因为 i* 是右伴随, 所以 i*(1) ∈ S/U 也是终对象. 而在 S 中，U(1) ≅ U'◦i*(1) ∈ S 是终对象. 换言之，U'：S/U → S 保持终对象. 又因为 U' 是纤维化，所以 U' 有全忠实的右伴随 coDisc'. □

i*

↶

⊥

C ─ i* → S/U

↘ ⁄

U'

⊥

U ↙

↺

S coDisc'.

Corollary. 如果 C 有终对象且被 U 保持，且 i* 有个全忠实的右伴随 i！ , 则 C 有余离散对象.

Proof. coDisc：＝i！◦coDisc'.

Corollary. 如果 C 有拉回且被 U 保持，且 C 有余离散对象，则 i* 有右伴随 i！.

Proof. 我们知道在这个条件下, U 有右伴随 coDisc.

定义i！：S/U → C 为：给定 (S → U(X)) ∈ S/U，则态射 S → U(X) ∈ S，coDisc(S) → coDisc(U(X)) ∈ C. 定义它和单位 X → coDisc(U(X)) 的拉回为 i！(S → U(X)). 伴随性容易验证 □

另一方面，

Theorem.

• U 有左伴随 Disc 当且仅当 U' 有左伴随 Disc'.

• U 的左伴随全忠实当且仅当 U' 的左伴随全忠实.

Proof. 设 Disc ⊣ U，定义 Disc'：S → S/U 为 Disc'(S)＝(S → U(Disc(S))). 其余部分容易验证. □

拓扑空间

Definition. 设 U：C → S 有余离散对象. 称 X ∈ C 具体 (concrete)，如果 X → coDisc(U(X)) 是单态射.

等价地，U 在全体以 X 为目标的态射上忠实.

对偶地，设C 有离散对象. 称 X ∈ C 余具体, 如果 Disc(U(Ⅹ)) → X 是个满态射. 等价地，U 在以 X 为来源的态射上忠实.

设C 有终对象且被 U 保持，则 S/U 有余离散对象, 其中的具体对象恰是子终对象.

另一方面, 设C 有离散对象，则 S/U 中的对象 (S → U(X)) 余具体, 当且仅当它的转置 Disc(S) → X 是满态射. 在拓扑系统的例子中，余具体对象恰是拓扑空间.

参考文献

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