Sierpinski 维 (4-1)

例子: 拓扑系统

考虑点集函子Γ：Loc → Set. 它有全忠实的左伴随 Disc：Set → Loc， 把集合 S 映为相应的离散空间.

Disc(S) → X

──────.

S → Γ(X)

这是因为

Loc(Disc(S)，X) ≅ Frm(O(X)，P(S))，Γ(X) ≅ Frm(O(X)，O(1))，所以

Set(S，Γ(X)) ≅ ∏ Frm(O(X)，O(1)) ≅ Frm(O(X)，P(S)).

然而Γ 没有右伴随. 我们可以考虑逗号范畴：

Set/Γ

• 对象：三元组 (S，X，iₛ：S → Γ(X)).

• 态射：二元组 (fₛₑₜ：S → T，fʟᴏc：X → Y)，使得图表交换.

它恰是[1]中的 "topological system" 的范畴, 因此不妨记为TopSys. 我们用[1]中的记号重新定义它.

Definition. 一个拓扑系统 (topological system) D 包含一个集合 |D|，称为它的点集, 以及一个 frame O(D)， 其中的元素称为 D 的开集，以及|D| × O(D) 上的二元关系 ╞， 满足

• 对于 U₁，· · ·，Uₙ ∈ O(D)，x╞ ∧Uᵢ当且仅当对任意 i，x╞ Uᵢ； ᵢ

• 对于 (可能无穷的) 开集族 {Uᵢ}ᵢ∈ₗ，x╞ ∨Uᵢ

ᵢ

当且仅当对某个 i，x╞ Uᵢ.

拓扑系统D，E 之间的一个连续映射 f：D → E 包含：

• 点集上的映射 f：|D| → |E|；

• 反向的 frame 同态 f⁻¹：O(E) → O(D)；

• 使得 x╞ f⁻¹ (V) ⇔ f(x)╞ V.

它自带若干伴随：

• "取点集"函子 │–│：TopSys → Set 兼有全忠实的左右伴随 Disc ⊣│–│⊣ coDisc：

Disc(S) 为 S 赋予拓扑 P(S)，coDisc(S) 为 S 赋予拓扑 2＝{⊤，⊥}.

• "忘却"函子 TopSys → Loc 也兼有全忠实的左右伴随, 分别给 frame 赋予空集作为点集, 和它寻常意义上的点集.

(∅，O(X)) → D

───────，

O(D) → O(X)

D → (|X|，O(X))

───────.

O(X) → O(D)

进一步地，│–│ 是个纤维化 (Grothendieck fibration)：任何函数 f：X → |D| ∈ Set 都给出"把 X 的点放进 D 的拓扑"的资料，即一个拓扑系统 Dx，使得：

• |Dx|＝X；

• O(Ox)＝O(D)；

• x╞ U ⇔ f(x) ∈ U.

于是X → |D| 可以被提升为 Dx → D， 容易验证它 cartesian.

Sierpinski 锥

下面考虑一般情况，参考 Shulman 的博文[2].

设有"忘却"函子U：C → S，其中 S 中的对象想象为无结构的集合，C 想象为某种空间的范畴, 我们假设 U 是个同构纤维化，即如果 S ≅ U (X) ∈ S，则这个同构可以被唯一地提升到 C.

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