柏拉图的数学与哲学（一） (5-1)

柏拉图的数学哲学

柏拉图是古希腊著名的哲学家,同时又是一个数学哲学家。他的数学哲学思想迄今仍影响着当代一些数学家和数学哲学家。现代数学研究对象的抽象性日益提高,使得数学对象的实在性或客观性成为数学家和数学哲学家关注的问题。本世纪三十年代以后,随着数学基础三大学派的争论渐趋平静,数学对象的实在性问题成为形式主义与自称柏拉图主义论战的焦点。为追溯现代数学柏拉图主义的思想渊源,本文就柏拉图的数学哲学作一探讨。

时代背景

柏拉图数学哲学思想的产生有其深刻的哲学和数学背景。在哲学方面,当时的哲学家都致力于寻找世界的本原。柏拉图跟随苏格拉底学习哲学。苏格拉底研究了伦理学中的普遍的东西、定义。例如,正义、美的本质。他继承他的老师从个别的事物中寻找普遍的东西,从现象中探求本质的传统。但他却把普遍的东西、定义与个别的东西分离开来,使之成为“单个的存在物”——理念。柏拉图还接受赫拉克利特关于“一切皆流”,无物常住的思想。但他又进一步认为,永恒变动的事物不能成为知识的对象;知识只能是对永恒不变的事物的认识。爱利亚学派的巴门尼德把可感事物的抽象归结为思想性的存在,并把它和非存在绝对对立起来。柏拉图则认为,永恒不变的存在是客观实在的,可感事物是处在存在与非存在之间。在解决理念与具体事物的关系时,他吸收了毕达哥拉斯的“摹仿说”。毕达哥拉斯学派认为,“万物皆数”,事物是“摹仿”数而存在的。柏拉图则认为事物是分有理念而存在的。这样,柏拉图就逐渐建立起他的理念论:理念与其同名的可感事物分属两个对立的世界,理念先于可感事物而独立存在;理念是本原、模型,它是永恒的、客观存在的,可感事物处于运动变化之中,它存在但不实在,它处于实在与非实在之间;可感事物是分有同名理念而存在的。

如果说理念论产生的哲学背景带有思辨的性质,那么数学背景——第一次数学危机,就是一个科学事实问题。

毕达哥拉斯学派发现了不可公度量,引起数学史上第一次危机。它迫使哲学家作出理论解释。可是这一重要事实常常被人忽略。这次危机及其解决,无论在数学方面还是在哲学方面都具有重大意义。就哲学意义来说,它首先动摇了毕达哥拉斯学派的“万物皆数”的自然观。其次是它使人们认识到感性知识是不可靠的,只有理性知识才是可靠的。因为根据毕达哥拉斯学派的理论,任何事物都可以用正整数或正整数的比来表示,叫做可公度比(即具有公共度量单位)。就两条线段来说,从直观上看,总是可以找到一个公共量度单位,把两条线段都量尽,进而用整数比来表示它们,使得它们成为可公度比。但是,在数学中根据毕达哥拉斯定理却可以证明,等腰直角三角形的斜边与直角边之比却是一个无限不循环的数,也就是说,找不到一个公共量度单位使得它的整数倍等于斜边的值,或者说,等腰直角三角形的斜边与直角边是不可公度的。这一事实说明,感性直观的知识是靠不住的。作为跟随过毕达哥拉斯学派重要成员、数学家泰奥多鲁斯和阿启泰学习过数学的柏拉图是知道这次危机所引起的冲击的,所以他强调数学是研究抽象的,强调假设—演绎方法;而且他的学派的重要成员、大数学家欧多克斯建立的比例论在解决危机的过程中实现当时数学研究重心的转移方面作出重要贡献。正是感性直观知识的不可靠性,才促使柏拉图一心一意地追求可靠的知识,寻找实在的、永恒不变的知识对象——理念。

另一方面,既然理念与可感事物是分立对立而存在的,它们作为认识的对象,心灵所获得的知识,一个是可靠的一个是不可靠的,那么,如何使不可靠的知识上升为可靠的知识呢?柏拉图正是在寻找知识的过渡形态过程中建立他的数学哲学理论——数学的居间性;数学对象分离独立存在于可感事物之外;理念数论及物质元素的几何结构。

数学的居间性

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