数学是真理吗？柏拉图主义的困境（三） (3-2)

“I am coming more and more the conviction that the necessity of our geometry cannot be demonstrated, at least nether by, nor for, the human intellect.”（我越来越坚信，我们的几何的必要是无法证实的，至少被我们人类智慧、或在我们人类智慧中所证实。）

传说中高斯曾经亲自测量了欧洲的三座山峰构成的三角形，来求证内角和是否真的是180°。因为在他的非欧几何推论中，三角形的内角和是大于180°的。实际的测量结果是180°15’。但是这说明不了问题，因为在当时的测量手段中这种偏差远远低于测量误差。

随后高斯的学生黎曼开始认真考虑空间结构的问题：关于物理空间，我们究竟可以确信什么样的几何性质？哪一些是先验的、确定无疑的几何基础呢？他坚信欧几里得几何，但是后来他的研究结果众所周知，打破了这种信念。他在研究中创立了与欧氏几何完全相反的黎曼几何。不仅如此，他还证明了，存在着无穷多种非欧几何。

和欧氏几何一样，黎曼几何结构严谨，逻辑自洽，毫无纰漏。不同的是黎曼几何中平行线不存在。空间中任意两条直线都必然是相交的。这个令人震惊的结果却在当时没有让人们震惊。尽管后来又出现了若干其它不同版本的非欧几何，但是当时的人们的普遍观点是，是的，我们承认存在着逻辑自洽的非欧几何，但是，真正的物理空间必然还是欧式空间，一切非欧几何不过就是一些数学游戏而已。这和人们一开始对虚数的态度何其相似。

但是，既然欧氏几何和非欧几何都是逻辑上无懈可击的体系，我们有何理由偏爱欧氏几何呢？凭什么我们认为欧氏几何是绝对真理，而其它的体系都只是游戏呢[7]？有没有可能是相反的，非欧几何才是真理，而欧氏几何仅仅是个游戏？到底是什么让人们觉得欧氏几何才是“真的”空间几何？如果说，我们有一种方法可以很精确地重复高斯的实验，能否判断我们所处的空间到底是欧氏的还是非欧的呢？如果真的可以，那么几何学从根本上说是可以被我们的经验来判断的[8] – 那么数学就不是一种确定的、“必然正确”的体系，它和自然科学一样是可证伪的。如果说没有这种测试手段，那么欧氏几何和非欧几何从根本上说就是平权的，没有哪一种会更加优越，那么这是否说明根本不存在一个数学真理？上帝把数学抛弃了？

总而言之，在19世纪初，诸如实数理论、虚数理论、非欧几何、实无穷等等一系列的问题接踵而至，大大地动摇了人们最初对数学这种明确无误的真理所持有的柏拉图式信念。一场巨大的风暴隐隐露出端倪。

参考

1. 毕达哥拉斯学派的人对数字4有着一种蜜汁崇拜。比如他们认为自然由点、线、面、体四元性组成，后来则进一步有了土、气、水、火四元素说。据称毕达哥拉学派的誓词即包括“谨以赋予我们灵魂的四象之名宣誓，……”

2. 这是一个传说，实际是否如此我们不得而知。普罗科拉斯在给《几何原本》作注时写道：“听说，首先泄漏无理数的秘密者们终于悉数覆舟丧命。因为对不可说的和无定型的必须保密。凡揭露了或过问了这种生命的象征的人必定立遭毁灭 ，并万世都被永恒的波涛吞噬。”

3. 值得一提的是，你们的几何课本中把这些公设叫做“基本事实”。这一种叫法我持保留态度。“基本事实”隐含着这样一种含义：它是可以通过经验感知的、通过具体事物表现出来的现象，属于可以通过经验和观察验证的东西。而数学中的公设则是不证自明，在任何时候下都（假定为）绝对正确的。我不知道你们几何课本为何要把公设改名叫基本事实，可能是想要传达一种经验主义（或实践论）的观念？

4. 这个有别于现代意义上的物理学。

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