数学是真理吗？柏拉图主义的困境（三） (3-1)

人为规定？难道说一个作为绝对真理的数学可以开这种玩笑吗？这就是这个数字被冠以“虚数”这个名字的原因：人们不相信这是一个“真实的”数字。几百年以来大批的数学家对此吐槽不能。然而虚数这个概念像一颗顽强的种子，还是在数学鄙视链的最底端生根发芽，沿着夹缝生长起来。人们很快发现它的方便之处：高次方程的解法、微分方程理论等等。更何况，虚数在数学的应用领域中更加深受喜爱，如拉普拉斯变换、傅里叶变换，还有，在电路理论中也是无处不在 – 当然，这些应用可以被认为只是在形式上的简化，而并没有必然存在的要求，但是，既然虚数的存在极大地简化了这些理论形式 - 那么虚数还是“虚幻”的人为事物吗？如果它真的有存在的必要性，那它为何以这种儿戏的方式出场？

而后来，在量子力学中，虚数成立一种完全必要的存在 —— 它不再是一种理论形式上的要求了，而是实实在在的理论砖石。哪怕是从物理应用的要求，虚数也必然是一种数学实体，而不单单是一种“人造”的游戏。而虚数真的是太违反人们的数学原则了：它的出现就像是从石头里蹦出来一样，如此随意、主观。难道数学中可以允许这种人为的游戏吗？或者，整个数学理论就是一个人造的游戏？如果说人们对无理数、无穷等概念的疑虑仅仅是因为暂时无法找到一个坚实的基础，而人们仍然坚信这个基础是存在的，那么对虚数的这种看法就像是一个打开的潘多拉盒子，从根本上动摇了柏拉图主义的核心理念。

然而这还不是唯一的麻烦。欧洲的数学家在继承了古希腊几何之后，发现了其实人们一直坚信的几何学的牢固基础，也并非那么牢固。其中有些证明用到的是一些图形上直接看到关系，而不是来自任何公理或公设。比如说，欧几里得的第一条公理说完全重合的两个事物相等，并依次来证明三角形的全等。但是这中间有一个隐含的前提：三角形在平移的过程性质是不变的。这或许是一个合理的假设，但是它却是一个额外的假设，而且涉及到了一个额外的概念：“平移”。此外还有一些不严谨、甚至是错误的证明。

这些麻烦相对而言并不算大，人们可以对它打补丁、改进。最大的麻烦发生在人们对欧几里得第五公设的究根问底上。这个公设这样说，“若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边充分延伸后必定相交。” 这种陈述过于复杂，很难从直觉中直接想象。早在古希腊时代人们就在试图简化它，比如说，“过直线外一点有且仅有一条直线与之永不相交”。但是这种说法仍然令人不满，因为它暗示了“无限长”的直线。正如我们前面提到的“潜无穷”，我们可以谈论两条直线的“任意延伸”，但是“无限延伸”就令人不满了，谈论“无限长”的直线真的有意义吗？欧几里得那个叙述虽然过于复杂，但是却非常小心地避免了谈及“无限长”。于是，人们试图用归谬法论证：假设过直线外一点的所有直线都必然与之相交，然后再由此推出矛盾，那么就可以合理证明这个假设错误，因而平行线公设就必然成立 – 那么这个公设就被从公理系统中移除，变成一个定理，进而欧氏几何更加简洁可靠。

最早的工作在18世纪由萨谢利开始，他确实推出了很多看似荒谬的结论，因而他感到十分满意，认为第五公设的问题终于圆满了。然而后来人们发现，这些结论虽然违反人们的常识，但是却没有矛盾。后来，高斯、罗巴切夫斯基、鲍耶三人分别独立作出了研究工作，事实令人大跌眼镜：在“不存在任何两条平行线”这样的前提下，虽然结论和欧氏几何不同，但是人们找不到任何矛盾！相反地，这种看似荒谬的前提却能够得到完全自洽的结论。于是，高斯渐渐地开始觉得，几何未必如大家一直以来所认为的，是必然存在的和必然正确的，而实际的物理空间可能是反欧几里得几何的。他说：

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