【SEP】数学与哲学直觉主义（一） (11-8)

(WC-N) ∀α∃nA(α,n)→∀α∃m∃n∀β∈α(¯¯¯¯¯m)A(β,n).

这里n和m的范围是自然数，α和β的范围是选择序列，β∈α(m)意味着α和β的前m个元素是相等的。尽管到目前为止，对于任意选择序列的大多数连续性公理从未给出过完全令人满意的理由，甚至连布劳威尔也没有，但当限制在无规律序列类时，支持弱连续性公理有效性的论据如下。当一个形式为∀α∃nA(a,n) 是由直觉主义建立的吗？根据无规律序列概念的本质，数字的选择n对其A (α , n)的有穷初始段后，必须使其成立。α的一个有穷的初始段后，才能做出判断。因为我们不知道如何α将如何进行，因此，我们必须基于以下选择 n 的初始段上。α的初始段，在我们希望固定的那个时间点上是已知的n，这意味着，对于每一个无规律的序列β的初始段都与α , A(β,n)也是成立的。

弱连续性公理已被证明是一致的，并经常以一种可以被证明的形式应用，即在谓词A只指的是α的值，而不是它可能拥有的高阶属性。这里将省略论证的细节，但它包含了与无规律序列原则的论证相同的成分，可以在van Atten和van Dalen 2002中找到。

弱连续性并没有穷尽直觉主义关于连续体的直觉，因为鉴于弱连续性公理，似乎可以合理地假设，选择使 ∀β∈α(¯¯¯¯¯m)A(β,n)的数m，可以被明确化。因此，∀α∃nA(α,n)意味着存在一个连续的函数Φ，对于每一个α产生固定α的长度的m，在此基础上选择n。更正式地说，让CF是连续函数Φ的类别，它将自然数分配给无穷序列，也就是说，它满足：

∀α∃m∀β∈α(¯¯¯¯¯m)Φ(α)=Φ(β).

连续性的完整公理，即弱连续性公理的延伸，可以表示为：

(C-N)∀α∃n一个(α,n)→∃Φ∈CF∀α一个(α,Φ(α)).

通过连续性公理，某些弱的反例可以转化为对经典公认原则的真正驳斥。例如，它意味着排中律的量化版本是错误的：

¬∀α(∀nα(n)=0).

这里α(n)表示α的第n个元素。为了说明这个否定成立，假设，通过矛盾论证，¬∀α(∀nα(n)=0∨¬∀nα(n)=0) 成立。这就意味着：

∀α∃k((∀nα(n)=0∧k=0)∨(¬∀nα(n)=0∧k=1)).

根据弱连续性公理，对于 α 只由零组成，存在一个数 m 的选择是固定的 k 的选择，这意味着对于所有 β ∈ α ( ¯¯¯¯¯ m ) , k = 0 . 但存在一些序列，其前 m 元素是0并且包含一个1的序列的存在表明，这不可能。

这个例子表明，排中律在直觉主义中不仅不成立，而且实际上是错误的，它导致了对连续体的许多基本属性的反驳。例如，考虑到实数 r α 是由数字组成的序列的极限 r n 在弱反例一节中给出，其中的 A ( m ) 定义中的A ( m ) 被认为是指 α ( m ) = 0 . 那么上面的反驳就意味着 ¬ ∀ α ( r α = 0 ∨ r α ≠ 0 ) ，因此它驳斥了三分法：

∀x(x＜y∨x=y∨y＜x).

下面的定理是连续性公理反驳某些经典原则的另一个例子：

定理 ( C - N ) 每个全实函数都是连续的。

事实上，这个定理的一个经典反例是无处连续的函数：

f(x)={0 if x is a rational number

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