【SEP】数学与哲学直觉主义（一） (11-7)

许多经典的有效语句都存在弱反例。这些弱反例的构造往往与上述例子的模式相同。例如，表明中值定理在直觉主义上无效的论证如下：设r是[-1，1]中的一个实数，对于这个实数，就像上面的例子一样(r≤0∨0＜r)还没有决定，定义[0，3]上的均匀连续函数f为：

f(x)=min(x−1,0) +max (0, x−2) +r.

显然，f(0)=−1+r，f(3)=1+r，因此f在[0，3]中的某个点x取值为0。如果可以确定这样的x，要么1≤x，要么x≤2。由于f在[1，2]上等于r，在第一种情况下r≤0，在第二种情况下0≤r，与语句的不可判定性相矛盾(r≤0∨0≤r)。

这些例子似乎表明，在从经典数学到直觉主义数学的转变中，人们失去了几个基本的分析定理。但事实并非如此，因为在许多情况下，直觉主义又以类似的形式重新获得了这些定理，其中存在性声明被对任意精度内的近似存在的声明所取代，就像中值定理的这种经典等价形式，在构造上是有效的：

该定理是：对于区间[a，b]上的每一个连续实值函数f，都有a＜b，并且对于f(a)和f(b)之间的每一个c，以下情况成立：∀n∃x∈[a，b]|f(x)-c|＜2⁻ⁿ。

弱反例是表明某些数学语句在直觉上不成立的一种手段，但它们还不能揭示直觉主义连续体的丰富性。只有在布劳威尔引入选择序列之后，直觉主义才获得其特殊的意味，并与经典数学不可同日而语。

选择序列（Choice sequences）

选择序列是由布劳威尔引入以捕捉连续体的直觉的。由于对直觉主义者来说，所有的无穷都是潜在的，所以无穷的对象只能通过一个逐步产生它们的过程来把握。因此，什么会被允许为合法的构造，决定了哪些无穷的对象会被接受。例如，在大多数其他形式的建构主义中，只允许生成这类对象的可计算规则，而在柏拉图主义中，无穷性被认为是完成的总体，其存在即使在不知道生成规则的情况下也被接受。

布劳威尔的直觉主义的第二行为产生了选择序列，它提供了某些无穷集合的属性，从经典的角度来看是不可接受的。选择序列是一个由自由意志创造的数字（或有限对象）的无穷序列。这个序列可以由法律或算法决定，比如只由“0”组成的序列，或由素数按递增顺序组成的序列，在这种情况下，我们说的是有法则的序列，或者它可以不受任何规则的约束，在这种情况下，它被称为无法则的。例如，无规律的序列可以通过重复投掷硬币来创造，或者通过要求创造主体逐一选择序列中的连续数字，允许它选择任何它喜欢的数字。因此，一个无规则的序列永远是未完成的，在任何时间阶段，关于它的唯一可用信息是迄今为止创建的序列的初始段。显然，根据无规则的本质，我们永远无法决定它的价值是否会与一个合法的序列相吻合。另外，自由意志能够创造出一开始是有法则的序列，但在某一点上，法则可能会被解除，自由选择的过程就会接管，产生后续的数字，或者反之亦然。

根据布劳威尔的观点，每个实数都由一个选择序列来表示，选择序列使他能够通过有争议的连续性公理来捕捉直观的连续体。布劳威尔在他的就职演说中第一次谈到了选择序列（Brouwer 1912），但当时他还没有把它们作为他的数学的一个基本部分。渐渐地，它们变得越来越重要，从1918年开始，布劳威尔开始以下一节解释的方式使用它们。

3.5 连续性公理（Continuity axioms）

接受选择序列的概念具有深远的意义。对于直觉主义者来说，它证明了连续性公理的使用，从这些公理中可以得出经典的无效语句。这些公理中最弱的是弱连续性公理：

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