【SEP】数学与哲学直觉主义（二） (6-5)

1928年3月10日，布劳威尔在维也纳就他的直觉主义数学基础进行了演讲。路德维希·维特根斯坦在赫伯特·费格尔的劝说下参加了那次讲座，费格尔事后写下了他在讲座后与维特根斯坦等人相处的时间：发生了一件大事。突然间，维特根斯坦开始滔滔不绝地谈论哲学——说得很详细。也许这是一个转折点，因为从那时起，1929年，当他搬到剑桥大学时，维特根斯坦又成了一个哲学家，并开始发挥巨大的影响。

还有人对布劳威尔的演讲影响了维特根斯坦的思想提出异议（Hacker 1986, Hintikka 1992, Marion 2003）。维特根斯坦在多大程度上（如果有的话）受到了布劳威尔思想的影响并不完全清楚，但他们的观点之间肯定存在着有趣的一致和分歧。Marion（2003）认为，维特根斯坦在《数学基础研究》中所描述的数学概念与布劳威尔的概念非常接近，维特根斯坦同意拒绝排中律（1929年手稿，第155-156页，载于Wittgenstein 1994），但不同意布劳威尔反对它的论点。Marion(2003)称，维特根斯坦的立场比布劳威尔的更激进，因为在前者看来，数学中排除中间律的无效性是所有数学命题（相对于经验命题而言）的一个显著特征，而不是像布劳威尔那样只是无限数学的一个特殊性。

Veldman讨论了布劳威尔和维特根斯坦之间的几个（不）一致之处，例如逻辑的危险，根据两人的观点，逻辑可能导致没有数学内容的构造。本文提出的分歧之一涉及维特根斯坦关于数学是一项共同事业的观点，这与布劳威尔的《创造主体》及其关于数学是一项无语言活动的观点形成了鲜明的对比。

6.3 达米特

英国哲学家迈克尔·达米特（1975）为直觉主义，特别是直觉主义逻辑发展了一个哲学基础。达米特明确指出，他的理论不是对布劳威尔工作的注释，而是一种可能用于（用他的话说）摒弃数学中的经典推理，而支持直觉主义推理的哲学理论。

达米特的方法始于这样一个想法，即选择一种逻辑而不是另一种逻辑，必然在于人们赋予逻辑语句的意义。在达米特使用的意义理论中，它是基于维特根斯坦关于语言的思想，特别是基于他的意义即使用的思想，一个句子的意义是由该句子的使用方式决定的。一个数学语句的意义体现在对它的使用上，而对它的理解就是对使用该语句的能力的认识。这一观点得到了我们获得数学知识的方式的支持。当我们学习一个数学概念时，我们会学习如何使用它：如何计算它、证明它或从它推断。而确定我们已经掌握了一个数学陈述的意义的唯一方法是我们对该陈述的正确使用的熟练程度。

鉴于这种对意义的看法，数学意义理论的核心概念不是柏拉图主义中的真理，而是证明；对一个数学陈述的理解在于当人们得到一个证明时，能够识别它。正如达米特所说，这导致了采用直觉主义逻辑作为数学推理的逻辑。

有趣的是，正如达米特(1975)自己所说，他的意义理论与布劳威尔关于数学是一种本质上无语言的活动的观点相去甚远。因此，至少有两条截然不同的思路导致采用直觉主义逻辑而不是经典逻辑，一条是布劳威尔发展的思路，另一条是达米特论证的思路。达米特关于直觉主义的工作已经被不同的哲学家评论过，比如Dag Prawitz (1977), Parsons (1986) 和 Richard Tieszen (1994, 2000)。

6.4 有穷主义

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