【SEP】数学与哲学直觉主义（二） (6-4)

5.5 基础（Foundations）

旨在作为建构数学基础的形式化，要么是集合论的（Aczel 1978, Myhill 1975），要么是类型论的（Martin-Löf 1984）。前者是Zermelo-Fraenkel集合理论在建构性环境中的改编，而在类型（type）论中，建构性陈述中隐含的构造在系统中被明确化了。集合理论可以被看作是数学的延伸性基础，而类型论一般是延伸性的。

近年来，出现了许多这种直观数学基础理论的部分模型，其中一些已在上文提到。特别是在拓扑理论（van Oosten 2008）中，有许多模型抓住了直觉主义的某些特征。例如，有一些拓扑，其中所有的全实函数都是连续的。诸如可实现性这样的函数解释以及类型理论中的解释也可以被看作是直觉主义数学和大多数其他构造理论的模型。

5.6 逆向数学（Reverse mathematics）

在逆向数学中，人们试图为数学定理建立证明这些定理所需的公理。在直觉逆向数学中，人们有一个类似的目的，但这是针对直觉定理而言的：在一个弱的直觉理论上工作，公理和定理是相互比较的。人们希望定理与之比较的典型公理是扇形原理和条形原理、克里普克的模式和连续性公理。

在(Veldman 2011)中，研究了扇形原理在一个叫做基本直觉数学的基本理论上的等价物。研究表明，扇形原理等同于单位区间[0,1]具有Heine-Borel属性的声明，并由此推导出许多其他等价物。在(Veldman 2009)中，扇形原理被证明也等同于Brouwer的近似定点定理。在(Lubarsky等人，2012)中，反向数学被应用于克里普克模式的一种形式，它被证明等同于某些拓扑学声明。

这样的例子还有很多，来自直觉主义的反向数学。特别是在更大的建构主义逆向数学领域，有许多这种性质的结果也与直觉主义的观点有关。

6. 哲学

布劳威尔从头开始建立他的直觉主义，并没有对直觉主义和其他现有哲学之间的关系做太多评论，但他之后的其他人做了评论。本节将讨论其中的一些联系，特别是直觉主义原则可以用其他哲学来证明的方式。

6.1 现象学

直觉主义与埃德蒙·胡塞尔（Edmund Husserl）发展的哲学之间的联系，在布劳威尔生前和几十年后都被一些作者研究过。赫尔曼·魏尔（Hermann Weyl）是最早讨论布劳威尔的思想与数学现象学观点之间关系的人之一。与布劳威尔一样，魏尔在他的《Das Kontinuum》（第二章）一书中也谈到了直观的连续体，但魏尔的概念是基于时间的（意识）现象学。Weyl后来觉得布劳威尔对实分析的发展比他自己的更忠实于直观连续体的想法（Weyl 1921），因此他把自己放在布劳威尔的一边，至少在这方面是这样的（van Atten 2002）。

Van Atten（2003, 2007）用现象学来证明选择序列作为数学对象的合理性。他(2002)对布劳威尔的选择序列的论证持批评态度，这也是在其他地方寻找哲学论证的动机。选择序列出现在贝克尔（1927）和魏尔的作品中，但它们与布劳威尔的概念不同，胡塞尔从未公开讨论过选择序列。Van Atten解释了连续体的同质性是如何解释它的不可穷尽性和非原子性的，这是布劳威尔所说的直觉连续体的两个关键属性。利用这两个基本属性存在于选择序列的定义中的事实，人们得出了对它们的现象学论证。

6.2 维特根斯坦

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（同人小说网http://tongren.me），接着再看更方便。