元数学：复杂度、随机性与不完备（一） (12-11)

如何证明情况一定是这样呢？好吧，如果不是这样，那么Q.的比特就会被高度压缩，被一个固定的乘法因子压缩，而这个乘法因子取决于相对频率的不等。换言之，Ω 的比特可以按固定的百分比压缩，这是一个很大的压缩量......这些想法可以追溯到克劳德-香农（Claude Shannon）于 20 世纪 40 年代在《贝尔系统技术期刊》（The Bell System Technical Journal）上发表的一篇著名论文，尽管我们工作的环境与他的论文有很大不同。不管怎么说，我就是通过阅读香农的文章获得了这个想法。香农和我都在工业实验室工作过：他的实验室是电话公司的，而我的实验室是 IBM 的。

我就是这样成功地找到了一个正规数！这是因为我对正规性本身并不感兴趣，而是对更深层次的哲学问题感兴趣，而正规性只是这些想法的一个应用而已。这有点类似图灵证明超越数（transcendentals）的存在，因为所有代数数（algebraic numbers）都必须是可计算的......

那么，城市学院教授理查德-斯通哈姆又是如何成功探索随机性的呢？这就是斯通哈姆的可证2正规数（prov-ably 2-normal number:）：

1 1 1

───＋───＋─── ↓

(3 × 2³) (3² × 2³²) (3³ × 2³³)

1

＋...────＋... ←

(3ᵏ × 2³ᵏ)

对于所有大小的区块，这都是正规基 2（normal base 2）。

那么，戴维-贝利和理查德-克兰德尔在 2003 年得到的更普遍的结果是什么呢？

1 1 1

───＋───＋─── ↓

(c × bᶜ) (c² × bᶜ²) (c³ × bᶜ³)

1

＋...────＋... ←

(cᵏ × bᶜᵏ)

只要 b 大于 1 且 b 和 c 没有公因数，就是 b 正规数。例如，b =5 和 c =7 就可以；这样就得到一个 5 的正规数。详情请参阅 Borwein 和 Bailey 合著的《实验数学（Mathematics by Experiment）》中关于正规数的第四章。书中还有很多其他有趣的内容，例如，计算 Π 的惊人新方法——实际上恰好与这些正规性证明有关！(见第三章）。

用二元方程求Ω的比特

在第五章中，我表达了对实数的数学怀疑论。在第四章中，我表达了对实数的物理怀疑。那么，我们为什么要认真对待实数 Ω 呢？因为它不是普通的实数，你可以通过二阶方程得到它！事实上，你可以用两种截然不同的方法得到它。

一种方法是我在 1987 年发现的，它可以模仿 Ω 的比特，让方程的解数从有限跳到无限。另一种方法是澳大利亚的托比-奥德（Toby Ord）和田德-基尤（Tien D. Kieu）在 2003 年发现的，它可以模仿 Ω 的比特，让方程的解数从偶数跳到奇数。这个问题有北半球和南半球的解决方法——毫无疑问，还有许多其他有趣的方法！

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